高等代数课件--第四章矩阵§4.2矩阵的运算

高等代数课件--第四章矩阵§4.2矩阵的运算

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时间:2019-06-21

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1、§4.2矩阵的运算一、加法1.定义设A=(aij)sn,B=(bij)sn则矩阵C=(cij)sn=(aij+bij)sn称为矩阵A与B的和,记作C=A+B.2.性质1)交换律A+B=B+A2)结合律(A+B)+C=A+(B+C)3)A+0=A4)A+(A)=03.减法:AB=A+(B)结论:对于两个同型矩阵A,B,有R(A+B)R(A)+R(B)二、乘法1.定义设A=(aij)sn,B=(bjk)nm记矩阵C=(cij)sm其中cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj称C为矩阵A与B的积,记作C=AB.注意理解定义例1线性方程组中,令A=(aij)sn

2、,则线性方程组的矩阵形式为AX=B2.性质1)结合律(AB)C=A(BC)2)交换律一般不成立即是ABBA理由有三:a.乘法可能没意义,b.乘法有意义,但结果不是同型矩阵,c.前二者都满足,但就是不相等。若AB=BA,称A与B可交换。分配律A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA消去律一般不成立即是若AB=AC,不能得到B=C。怎样理解?在满足什么条件时,消去律成立?5)AsnEn=Asn,EsAsn=Asn。定义:称主对角线上元素为1,其余元素都为0的n级方阵为n级单位矩阵,记为En.问题:若AE=EA,是否A与E可交换?6)AkAl=Ak+l,(Ak)l=Ak

3、l定义:设矩阵A为n级矩阵,定义A的方幂为A1=AAk+1=AkA问题:(AB)k与AkBk是否相等?如果不等,又需要添加什么条件?对于两个n级矩阵A,B,当AB=0时,R(A)+R(B)n8)对于n级矩阵A,当A2=0时,R(A+E)+R(AE)=n9)对于n级矩阵A,当A2=A时,R(A)+R(AE)=n三、数量乘法(数乘)1.定义设A=(aij)sn,kP,记矩阵B=(kaij)sn称B为矩阵A与k的数量乘积,记作B=kA.2.性质:1)(k+l)A=kA+lA2)k(A+B)=kA+kB3)k(lA)=(kl)A4)1A=A5)k(AB)=(kA)B=A(k

4、B)7)若A是n级矩阵,则kA=(kE)A=A(kE).8)kE+lE=(k+l)E9)(kE)(lE)=(kl)E数量矩阵的概念6)若A是n级方阵,则

5、kA

6、=

7、A

8、。四、转置1.定义设A=(aij)sn,称矩阵为矩阵A的转置矩阵,记作AT或A.2.性质1)(A)=A2)(AB)=AB3)(AB)=BA4)(kA)=kA5)若A为方阵,

9、A

10、=

11、A

12、.3.对称矩阵、反对称矩阵定义设A为n级方阵,若1)A=A,则称A为对称阵;2)A=A,则称A为反对称阵。性质:①对称矩阵的和、差仍是对称矩阵,反对称矩阵的和、差仍是反对称矩阵.②A为对称矩阵

13、,kP,则kA是对称矩阵,A为反对称矩阵,kP,则kA是反对称矩阵。③奇数级反对称矩阵的行列式等于零.④A,B为对称矩阵,则AB对称AB=BA.⑤A,B为对称矩阵,则AB不一定对称;A,B为反对称矩阵,则AB不一定反对称;⑥A为方阵,则A+AT为对称矩阵,AAT为反对称矩阵;A可表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。例4A反对称,B对称.证明:1)A2对称.2)ABBA对称;AB+BA反对称.3)AB反对称的充要条件为AB=BA.例5A为n级实对称矩阵,且A2=0,证明:A=0。

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