高等代数课件(北大版)第四章 矩阵§4-6

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1、一、初等矩阵二、等价矩阵§4.6初等矩阵三、用初等变换求矩阵的逆10/4/2021数学与计算科学学院由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵.定义一、初等矩阵三种初等变换对应着三种初等方阵:10/4/2021数学与计算科学学院(换法矩阵)10/4/2021数学与计算科学学院(倍法矩阵)以数乘单位矩阵的第期i行得初等矩阵10/4/2021数学与计算科学学院(消法矩阵)10/4/2021数学与计算科学学院1初等矩阵皆可逆，且其逆仍为初等矩阵.初等矩阵的性质10/4/2021数学与计算科学学院2引理对任一矩阵作一初等行(列)变换相当于对左(右)乘一个相应

2、的初等矩阵．:对换的两行；:对换的两列．：用非零数乘的第列；：用非零数乘的第列．：的第行乘以加到第行;：的第列乘以加到第列．10/4/2021数学与计算科学学院若矩阵B可由A经过一系列初等变换得到，则称A与B等价的．（也称A与B相抵）①矩阵的等价关系具有：反射性、对称性、传递性.②等价矩阵的秩相等．二、等价矩阵定义注：10/4/2021数学与计算科学学院1)定理5任一矩阵A都与一形式为矩阵等价的有关结论的矩阵等价，称之为A的标准形,且主对角线上1的个数等于R(A)(1的个数可以是零).10/4/2021数学与计算科学学院2)矩阵A、B等价存在初等矩阵使3)n级

3、方阵A可逆A的标准形为单位矩阵E.A与单位矩阵E等价.即4)n级方阵A可逆A能表成一些初等矩阵的积,定理610/4/2021数学与计算科学学院推论1推论2存在s级可逆矩阵P及n级可逆矩阵Q,使两个矩阵A、B等价由此得定理5的另一种叙述：对任一矩阵A，存在可逆矩阵,使，其中．可逆矩阵可经一系列初等行(列)变换化成单位矩阵.10/4/2021数学与计算科学学院三、利用初等变换求逆阵原理:10/4/2021数学与计算科学学院解例１10/4/2021数学与计算科学学院10/4/2021数学与计算科学学院即初等行变换10/4/2021数学与计算科学学院例２解10/4/2

4、021数学与计算科学学院10/4/2021数学与计算科学学院10/4/2021数学与计算科学学院列变换列变换10/4/2021数学与计算科学学院思考题10/4/2021数学与计算科学学院解可以看成是由3阶单位矩阵经4次初等变换,10/4/2021数学与计算科学学院