高等代数课件(北大版)第四章 矩阵§4-4

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1、一、可逆矩阵的概念二、可逆矩阵的判定、求法§4.4矩阵的逆三、逆矩阵的运算规律四、矩阵方程9/10/2021数学与计算科学学院一、可逆矩阵的概念定义设A为n级方阵，如果存在n级方阵B，使得AB＝BA＝E则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵.注：①可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的，记作③单位矩阵E可逆，且②可逆矩阵A的逆矩阵　　也是可逆矩阵，且9/10/2021数学与计算科学学院二、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法定义1、伴随矩阵称为A的伴随矩阵.性质：余子式，矩阵设　是矩阵　　　　　中元素的代数9/10/2021数学与计算科学学院证：由行列式按一行（

2、列）展开公式立即可得,同理,9/10/2021数学与计算科学学院非退化的），且证：若　　　　由所以，A可逆，且两边取行列式，得2、定理：矩阵A可逆当且仅当（即A得反过来，若A可逆，则有9/10/2021数学与计算科学学院则A、B皆为可逆矩阵，且证：由定理知，A、B皆为可逆矩阵.从而再由即有，3、推论：设A、B为n级方阵，若9/10/2021数学与计算科学学院例1判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆.9/10/2021数学与计算科学学院解：1）∴A可逆.再由有9/10/2021数学与计算科学学院∴当　　　　　　　　　时，A可逆.且由于9/10

3、/2021数学与计算科学学院三、逆矩阵的运算规律9/10/2021数学与计算科学学院(5)若A可逆，则亦可逆，且(6)若A可逆，则亦可逆，且当时，定义注：则有9/10/2021数学与计算科学学院设方阵A满足证明：与皆可逆，并求其逆.例2由即故A可逆，且再由得即故可逆，且证：得9/10/2021数学与计算科学学院四、矩阵方程1.线性方程组令则（1）可看成矩阵方程若A为可逆矩阵，则9/10/2021数学与计算科学学院①矩阵方程若A为可逆矩阵，则2.推广②矩阵方程若A为可逆矩阵，则③矩阵方程若A,B皆可逆，则9/10/2021数学与计算科学学院

4、3.矩阵积的秩定理4若可逆，则证：令又P可逆，由定理2，有故9/10/2021数学与计算科学学院例3解矩阵方程解：一般地，可逆.注:9/10/2021数学与计算科学学院练习已知求矩阵B．解：由，得，又可逆，且9/10/2021数学与计算科学学院