高等代数课件(北大版)第四章 矩阵§4-2

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1、三、数量乘法一、加法二、乘法四、转置§4.2矩阵的运算8/15/2021数学与计算科学学院1.定义设 则矩阵称为矩阵A与B的和,记作 .即一、加法8/15/2021数学与计算科学学院说明例如只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算.8/15/2021数学与计算科学学院(1)交换律(2)结合律(3)(4)定义2.性质3.减法8/15/2021数学与计算科学学院设则矩阵其中称为与的积,记为.1.定义二、乘法8/15/2021数学与计算科学学院①乘积有意义要求A的列数=的行数.②乘积中第行第列的元素由的第行乘的第列相应元素相加得到.注意如不存在.8/15/2021数学与计算科学学院例

2、1线性方程组令则(1)可看成矩阵方程8/15/2021数学与计算科学学院而无意义.例2.例3.8/15/2021数学与计算科学学院例4.8/15/2021数学与计算科学学院注意③未必.若,称A与B可交换.①一般地,即且时,有可能.②未必有或.8/15/2021数学与计算科学学院2.矩阵乘法的运算规律(5)(结合律)(分配律)8/15/2021数学与计算科学学院证:1)设令其中的第i行第l列元素为的第i行第l列元素为结合律得证.8/15/2021数学与计算科学学院设为级方阵.定义称为的次幂.3.矩阵的方幂定义个8/15/2021数学与计算科学学院(3)一般地,性质8/15/2021数

3、学与计算科学学院解:例5.设求8/15/2021数学与计算科学学院由此归纳出用数学归纳法证明之.当时,显然成立.假设时成立,则时,8/15/2021数学与计算科学学院故对于任意都有8/15/2021数学与计算科学学院称为矩阵A与数k的数量乘积.记作:三、数量乘法1.定义设 则矩阵即8/15/2021数学与计算科学学院2.性质注:矩阵的加法与数量乘法合起来,统称为矩阵的线性运算.8/15/2021数学与计算科学学院(6)若A为n级方阵,(数量矩阵与任意矩阵可交换)(数量矩阵加法与乘法可归结为数的加法与乘法)8/15/2021数学与计算科学学院设的转置矩阵是指矩阵记作或.四、转置1.定

4、义8/15/2021数学与计算科学学院2.性质(5)若为方阵,则8/15/2021数学与计算科学学院(3)证:设中的元素为从而中 的元素为中的元素为又 的第i行元素为的第j列元素为8/15/2021数学与计算科学学院设n级方阵(1)若满足即3.对称矩阵 反对称矩阵定义则称A为对称矩阵;(2)若满足即则称A为反对称矩阵.8/15/2021数学与计算科学学院性质(2)对称,对称;反对称,反对称.(1)对称对称;反对称反对称.(3)奇数级反对称矩阵的行列式等于零.为奇数时,8/15/2021数学与计算科学学院i)对称,积对称吗?想一想ii)反对称,积反对称吗?皆为n级对称矩阵,证明:例7

5、已知皆为n级对称矩阵,对称证:若AB对称,则有反过来,若AB=BA,则有所以AB对称.8/15/2021数学与计算科学学院例8设A为n级实对称矩阵,且,证明:证:设8/15/2021数学与计算科学学院又皆为实数8/15/2021数学与计算科学学院练习1设列矩阵满足E为n单位矩阵,证明:H是对称矩阵,且2已知求8/15/2021数学与计算科学学院1证:8/15/2021数学与计算科学学院2解:8/15/2021数学与计算科学学院附:共轭矩阵定义当为复矩阵时,用表示的共轭复数,记    , 称为的共轭矩阵.运算性质(设为复矩阵,为复数)8/15/2021数学与计算科学学院

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