高等代数课件(北大版)第四章 矩阵§4-2

《高等代数课件(北大版)第四章 矩阵§4-2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、三、数量乘法一、加法二、乘法四、转置§4.2矩阵的运算8/15/2021数学与计算科学学院1．定义设　则矩阵称为矩阵A与B的和，记作　．即一、加法8/15/2021数学与计算科学学院说明例如只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.8/15/2021数学与计算科学学院(1)交换律(2)结合律(3)(4)定义2．性质3．减法8/15/2021数学与计算科学学院设则矩阵其中称为与的积，记为．1．定义二、乘法8/15/2021数学与计算科学学院①乘积有意义要求A的列数＝的行数.②乘积中第行第列的元素由的第行乘的第列相应元素相加得到．注意如不存在.8/15/2021数学与计算科学学院例

2、1线性方程组令则（1）可看成矩阵方程8/15/2021数学与计算科学学院而无意义．例2．例3．8/15/2021数学与计算科学学院例4．8/15/2021数学与计算科学学院注意③未必．若，称A与B可交换．①一般地，即且时，有可能．②未必有或．8/15/2021数学与计算科学学院2．矩阵乘法的运算规律(5)(结合律)（分配律)8/15/2021数学与计算科学学院证：1）设令其中的第i行第l列元素为的第i行第l列元素为结合律得证.8/15/2021数学与计算科学学院设为级方阵．定义称为的次幂.3．矩阵的方幂定义个8/15/2021数学与计算科学学院(3)一般地,性质8/15/2021数

3、学与计算科学学院解:例5．设求8/15/2021数学与计算科学学院由此归纳出用数学归纳法证明之.当时，显然成立.假设时成立，则时，8/15/2021数学与计算科学学院故对于任意都有8/15/2021数学与计算科学学院称为矩阵A与数k的数量乘积．记作：三、数量乘法1．定义设　则矩阵即8/15/2021数学与计算科学学院2．性质注:矩阵的加法与数量乘法合起来,统称为矩阵的线性运算.8/15/2021数学与计算科学学院(6)若A为n级方阵，(数量矩阵与任意矩阵可交换)(数量矩阵加法与乘法可归结为数的加法与乘法)8/15/2021数学与计算科学学院设的转置矩阵是指矩阵记作或．四、转置1．定

4、义8/15/2021数学与计算科学学院2．性质(5)若为方阵，则8/15/2021数学与计算科学学院（3）证：设中的元素为从而中　的元素为中的元素为又　的第i行元素为的第j列元素为8/15/2021数学与计算科学学院设n级方阵(1)若满足即3．对称矩阵　反对称矩阵定义则称A为对称矩阵；(2)若满足即则称A为反对称矩阵.8/15/2021数学与计算科学学院性质(2)对称，对称；反对称，反对称．(1)对称对称;反对称反对称．(3)奇数级反对称矩阵的行列式等于零．为奇数时，8/15/2021数学与计算科学学院i)对称，积对称吗?想一想ii)反对称，积反对称吗?皆为n级对称矩阵，证明：例7

5、已知皆为n级对称矩阵，对称证：若AB对称，则有反过来，若AB=BA，则有所以AB对称.8/15/2021数学与计算科学学院例8设A为n级实对称矩阵，且，证明：证：设8/15/2021数学与计算科学学院又皆为实数8/15/2021数学与计算科学学院练习1设列矩阵满足E为n单位矩阵,证明:H是对称矩阵，且2已知求8/15/2021数学与计算科学学院1证:8/15/2021数学与计算科学学院2解:8/15/2021数学与计算科学学院附:共轭矩阵定义当为复矩阵时，用表示的共轭复数,记　　　　，　称为的共轭矩阵.运算性质（设为复矩阵，为复数）8/15/2021数学与计算科学学院