高等代数课件--第四章 矩阵§4.4 矩阵的逆.ppt

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1、§4.4矩阵的逆一、可逆矩阵的定义：设A为n级方阵，若有n级方阵B，使B为A的逆矩阵.AB=BA=En则称A为一个可逆矩阵，注：①若A可逆，则A的逆唯一，记为A1,②E1=E．对于n级矩阵A，如果存在n级矩阵B，使得AB=E，则A是可逆矩阵吗？问题：二、可逆矩阵的判定、求法称为A的伴随矩阵．１．伴随矩阵定义：设Aij矩阵A=(aij)nn中元素aij的代数余子式，矩阵性质若A为n级方阵，则AA*=A*A=

2、A

3、En。２．可逆判定定理定理3矩阵A可逆的充要条件是A非退化，且A可逆时，A1=A*/

4、A

5、．例1例2例3推论设A,B为n级方阵,若AB=E，则A,B都可逆，且A

6、1=B，B1=A．三、逆矩阵的性质1)若A可逆，则A1可逆，且(A1)1=A,2)若A可逆,0,则A可逆,且(A)1=1A1.3)若A,B为n级可逆方阵,则AB可逆,且(AB)1=B1A1.问题：3）能否推广到有限个的情况?6)若A可逆,则Ak可逆，且(Ak)1=(A1)k.5)若A可逆,则A*可逆且(A*)1=A/

7、A注：当

8、A

9、0时，定义A0=E，Ak=(A1)k。当A,B可逆时，A+B不一定可逆。4)若A可逆，则A可逆,且(A)1=(A1).设方阵A满足A23A10E=0，证明：A，A4E都可逆,并求它们的逆

10、矩阵．例3解：因为A(A3E)=10E,所以A可逆,且又(A+E)(A4E)=6E,所以A4E可逆,且(A4E)1=(A+E)/6A1=(A-3E)/10四、矩阵方程对于方程AX=B,若A可逆，则X=A1B.XA=B,若A可逆，则X=BA1AXB=C,若A,B可逆，则X=A1CB1例4例5五、矩阵积的秩定理4：设A是s×n矩阵，P是s级可逆阵，Q是n级可逆阵,则R(A)=R(PA)=R(AQ)．