云南中考数学《专项三：压轴题》精讲教学案类型⑥　全等三角形存在性问题探究

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1、类型⑥　全等三角形存在性问题探究,备考攻略)抛物线上是否存在一点，使之与另3个点构成的两个三角形全等．1．一般有2个不确定的点，三角形形状不明确，学生分析对应边有困难．2．原理是“边角边”的全等判定理解有困难.1．分析不变特征：先研究定点、动点，进一步在两个三角形中进行研究，发现只有一条定线段，所以两个三角形都不确定．2．考虑形成因素，画图，求解，由于三角形形状不明确，则考虑两个三角形的对应关系，通过三角形的公共边，可确定出对应边．要想全等，只需满足这两组对应边的所夹夹角相等即可，所以抛物线上的动点实际是抛物线与某条角平分线的交点．

2、抛物线上的动点与两定点、一动点构成的两个三角形全等．,典题精讲)　　【例】如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是抛物线y＝－x2－2x＋4上的一个动点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，经过点P的直线PE与y轴交于点E，是否存在△OPE与△OPD全等？若存在，请求出直线PE的解析式；若不存在，请说明理由．【解析】由△OPE≌△OPD可得∠OPD＝∠OPE，即点P在各象限的角平分线上，分点P在第一、三象限的角平分线上和点P在第二、四象限的角平分线上两种情况求出点P的坐标，应用待定系数法求解即可．【答案】解：存在．∵y＝－－2x＋

3、4＝－(x＋2)2＋6，∴抛物线的对称轴为直线x＝－2，∴OD＝2.如图，OD＝OE，OP＝OP，若△OPD≌△OPE，则∠OPD＝∠OPE，即点P在各象限的角平分线上．第3页①若点P在第一、三象限的角平分线上，又因为点P在抛物线上，联立方程组解得∴P1(－3＋，－3＋)，P2(－3－，－3－)．当P1(－3＋，－3＋)，E1(0，－2)时，由待定系数法可求P1E1的解析式为y＝x－2；当P2(－3－，－3－)，E2(0，－2)时，由待定系数法可求P2E2的解析式为y＝x－2；②若点P在第二、四象限的角平分线上，则解得∴P3(－4，

4、4)，P4(2，－2)，当P3(－4，4)，E3(0，2)时，求得P3E3的解析式为y＝－x＋2，当P4(2，－2)，E4(0，2)时，求得P4E4的解析式为y＝－2x＋2.综上所述，直线PE的解析式为y＝x－2或y＝x－2或y＝－x＋2或y＝－2x＋2.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．(1)求抛物线的函数解析式，并分别求出点B和点E的坐标

5、；(2)试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE，若存在，第3页请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)抛物线经过点A(－2，0)，D(6，－8)，∴解得∴抛物线的函数解析式为y＝x2－3x－8，∵y＝x2－3x－8＝(x－3)2－，∴抛物线的对称轴为直线x＝3.又∵抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为(－2，0)，点B的坐标为(8，0)，设直线l的函数解析式为y＝kx.∵点D(6，－8)在直线l上，∴6k＝－8，解得k＝－.∴直线l的函数解析式为y＝－x，∵点E为直线l和抛物线对称轴的交点，∴点E的横坐标为3

6、，纵坐标为－×3＝－4，即点E的坐标为(3，－4)；(2)抛物线上存在点F.∵E的坐标为(3，－4)，C的坐标为(0，－8)，∴OE＝5，CE＝5，∴△OEC是等腰三角形，使△FOE≌FCE.则∠FEO＝∠FEC，点F在∠OEC的平分线上，∴yF＝－4，把yF＝－4代入抛物线解析式y＝x2－3x－8，求得x1＝3－，x2＝3＋，∴点F的坐标为(3－，－4)或(3＋，－4)．第3页