云南中考数学《专项三：压轴题》精讲教学案类型④　直角三角形存在性问题探究

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1、类型④　直角三角形存在性问题探究,备考攻略)1．“某图形(直线或抛物线)上是否存在一点，使之与另两定点构成直角三角形”的问题．2．“某图象上是否存在一点，使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题．1．利用勾股定理计算，在解一元二次方程时计算错误．2．分类讨论漏解．3．利用相似三角形解决问题不熟练．1．若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标，视题目分类的情况，分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率，再运用两直线(没有与y轴平行的直线)垂直的斜率结论(两直线的斜率相乘等于－1)，得到一个方程，解之即可.2．若夹直角的两边中有一边与

2、y轴平行，此时不能使用斜率公式．补救措施是：过余下的那一个点(没在平行于y轴的那条直线上的点)直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交，则相关点的坐标可轻松搞定．3．直接利用勾股定理进行计算，当已知直角三角形的三边中任意两边的长，可以直接求第三边的长．4．利用勾股定理建立方程：勾股定理是表示三边之间的关系，只有在两边确定的情形下，才可以直接利用公式求第三边，但有时题目的条件，却不能满足这点，这时可以引入未知数，让未知数参与运算，最后通过列方程求解．5．利用勾股定理判断三角形是否为直角三角形，当

3、三角形三边关系满足勾股定理时，三角形一定是直角三角形.6．将一般的几何问题构造出直角三角形，再用勾股定理求解．7．建立直角三角形模型．8．根据条件特点，选用适当的锐角三角函数解决问题．1．分别表示出构成直角三角形的三条边的平方，再利用勾股定理分类讨论符合题意的动点的值．2．如果利用勾股定理不能求的边可以考虑利用相似的性质求解．,典题精讲)◆利用勾股定理建立方程【例1】(2017通辽中考)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过点A(－2，0)，与y轴交于点C.(1)求抛物线y＝ax2＋bx＋2的函数解析式；(2)若点

4、D在抛物线y＝ax2＋bx＋2的对称轴上，求△ACD的周长的最小值；(3)在抛物线y＝ax2＋bx＋2的对称轴上是否存在点P，使△ACP是直角三角形？若存在，第8页直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】(1)利用待定系数法求抛物线的函数解析式；(2)由轴对称的最短路径得：因为B与C关于对称轴对称，所以连接AB交对称轴于点D，此时△ACD的周长最小，利用勾股定理求其三边相加即可；(3)存在，当A和C分别为直角顶点时，画出直角三角形，设P(1，y)，根据直角三角形相似列比例式可得P的坐标．【答案】解：(1)把点A(－2，0

5、)，B(2，2)代入抛物线y＝ax2＋bx＋2中，解得∴抛物线函数解析式为：y＝－x2＋x＋2；(2)y＝－x2＋x＋2＝－(x－1)2＋，∴对称轴是直线x＝1，如图①，过B作BE⊥x轴于E，∵C(0，2)，B(2，2)，对称轴是直线x＝1，∴C与B关于直线x＝1对称，∴CD＝BD，连接AB交对称轴于点D，此时△ACD的周长最小，∵BE＝2，AE＝2＋2＝4，OC＝2，OA＝2，∴AB＝＝2，AC＝＝2，∴△ACD的周长＝AC＋CD＋AD＝AC＋BD＋AD＝AC＋AB＝2＋2.答：△ACD的周长的最小值是2＋2.图①(3)存在．分

6、两种情况：①当∠ACP＝90°时，△ACP是直角三角形，如图②.过P作PG⊥y轴于G，设P(1，y)，则△CGP∽△AOC，∴＝，∴＝，∴CG＝1，∴OG＝2－1＝1，∴P(1，1)；图②②当∠CAP＝90°时，△ACP是直角三角形，如图③，设P(1，y)，则第8页△PEA∽△AOC，∴＝，∴＝，∴PE＝3，∴P(1，－3)．综上所述，△ACP是直角三角形时，点P的坐标为(1，1)或(1，－3)．图③◆利用勾股定理不能求的边可以考虑利用相似的性质求解【例2】(2016昆明中考)如图①，对称轴为直线x＝的抛物线经过B(2，0)，C(

7、0，4)两点，抛物线与x轴的另一交点为A.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；(3)如图②，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．图①　　　　　　　图②【解析】(1)由对称轴的对称性得出点A的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式；(2)作辅助线把四边形COBP分成梯形和直角三角形，表示出面积S，化简后是一个关于S的二次函数，求最值即可；(3)画出符合条件的Q点

8、，①利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式；②在直角△COB和直角△QMB中利用正切和勾股定理求出即可．【答案】解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x＝，且抛物线经过B(2，0)，∴A(－1，0)，设抛物线的解析式为：y＝a(x＋1)(x－2