云南中考数学《专项三：压轴题》精讲教学案类型③　等腰三角形存在性问题探究

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1、类型③　等腰三角形存在性问题探究,备考攻略)1．某函数图象上是否存在一点，使之与另两个定点构成等腰三角形．2．动点在几何图形的边上运动与两个定点构成等腰三角形．1．动点坐标与动线段长度的转化不能较好理解．2．分类讨论不清，答案不全．首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点(若某边为底，则只有一种情况；若某边为腰，有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况)．先借助于动点所在图象的解析式，表示出动点的坐标，按分类的情况，分别利用相应类别下两腰相等，使用两点间的距离公式，建立方程，解出此方程，即可求出动点的横坐标，再借助动点所在图象的

2、函数关系式，可求出动点纵坐标，注意去掉不合题意的点(就是不能构成三角形这个题意)．1．一个动点在几何图形的边上运动与两个定点构成等腰三角形．2．某函数图象上或抛物线对称轴上是否存在一点，使之与另两个定点构成等腰三角形：抛物线上或对称轴上的动点与抛物线与坐标轴交点构成等腰三角形．3．坐标轴上的动点与两定点构成等腰三角形．4．两个动点与一个定点构成等腰三角形．,典题精讲)◆等腰三角形存在性问题探究【例1】已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，对角线AC，BD交于点O.点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q

3、从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F.设运动时间为t(s)(0＜t＜6)，解答下列问题：(1)当t为何值时，△AOP是等腰三角形？(2)设五边形OECQF的面积为S(cm2)，试确定S与t的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形OECQF∶S△ACD＝9∶16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)根据矩形的性质和勾股定理得到AC＝10，①当AP＝PO＝t，如图①，过点P作PM⊥AO于点M，

4、根据相似三角形的性质得到AP＝t＝，②当AP＝AO＝t＝5，第7页进而得到结论；(2)过点O作OH⊥BC交BC于点H，已知BE＝PD，则可求△BOE的面积，可证得△DFQ∽△DOC，由相似三角形的面积比可求得△DFQ的面积，从而可求五边形OECQF的面积；(3)计算△ACD的面积，结合上步已得五边形OECQF的面积，可得∶24＝9∶16，解之即可确定t的值．图①【答案】解：(1)∵在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，∴AC＝10cm，①当AP＝PO＝t，如图①，过点P作PM⊥AO于点M，∴AM＝AO＝AC＝，∵∠PMA＝∠ADC＝90°

5、，∠PAM＝∠CAD，∴△APM∽△ACD，∴＝，∴AP＝t＝，②当AP＝AO＝t＝5，∴当t为或5时，△AOP是等腰三角形；图②(2)如图②，过点O作OH⊥BC于点H，则OH＝CD＝AB＝3cm，∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠PDO＝∠EBO，DO＝BO，又∵∠POD＝∠EOB，∴△POD≌△EOB，∴BE＝PD＝8－t.第7页∴S△BOE＝BE·OH＝×3(8－t)＝12－t.∵QF∥AC，∴△DFQ∽△DOC，∴＝，∴＝.∵S△DOC＝S矩形ABCD＝×6×8＝2.∴S△DFQ＝12×＝，∴S五边形OECQF＝S△DBC－S△B

6、OE－S△DFQ＝×6×8－－＝－＋t＋12，∴S与t的函数关系式为S＝－t2＋t＋12；(3)存在，∵S△ACD＝×6×8＝24，∴S五边形OECQF∶S△ACD＝∶24＝9∶16，解得t＝3或t＝，∴t＝3或时，S五边形OECQF∶S△ACD＝9∶16.【例2】如图，抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)的顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且BO＝OC＝3AO，直线y＝－x＋1与y轴交于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)证明：△DBO∽△EBC；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接

7、写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．【解析】(1)先求出点C的坐标，再由BO＝OC＝3AO，确定出点B，A的坐标，最后用待定系数法求出抛物线解析式；(2)先求出点A，B，C，D，E的坐标，第7页从而求出BC＝3，BE＝2，CE＝，OD＝1，OB＝3，BD＝，求出比值，得到＝＝得出结论；(3)设出点P的坐标，表示出PB，PC，求出BC，分三种情况计算即可．【答案】解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx－3，∴c＝－3，∴C(0，－3)，∴OC＝3，∵BO＝OC＝3AO，∴BO＝3，AO＝1，∴B(3，0)，A(－1，0)，∵该抛物线与x轴交于

8、A，B两点，∴解得∴抛物线解析式为y＝x2－2x－3，(2)作EF⊥x轴于点F，CG⊥EF于点G.由(1)知，抛物线解析式为y＝x2－2