云南中考数学《专项三：压轴题》精讲教学案类型⑤　相似三角形存在性问题探究

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1、类型⑤　相似三角形存在性问题探究,备考攻略)1．求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形．根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论．2．或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小．3．若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解．1．不会判断已知三角形的形状，认清已知与未知信息．2．对应边分类错误或者出现漏解．3．对动点问题缺乏化“动”为“静”的思想意识．1．二次函数综合题考查分析推理能力，分类讨论思想的应用

2、，数形结合思想的应用，从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．2．已知有一个角相等的情形：先借助于相应的函数关系式，把动点坐标表示出来(一母示)，然后把两个目标三角形(题中要相似的那两个三角形)中相等的那个已知角作为夹角，分别计算或表示出夹角的两边，让形成相等的夹角的那两边对应成比例(要注意是否有两种情况)，列出方程，解此方程即可求出动点的横坐标，进而求出纵坐标，注意去掉不合题意的点.3．函数的综合应用涉及待定系数法、三角函数的定义、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质及方程思想等知识．注意函数图象上的点的坐标满足函数解析式，以及待定系数法的

3、应用，用观察法得出某一个角可能是特殊角，再为该角寻找一个直角三角形，用三角函数的方法得出特殊角的度数，在动点坐标表示为设定的未知数的表达式后，分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等，借助于特殊角，为动点寻找一个直角三角形，求出动点坐标，从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了．1．根据题意，先求解相关点的坐标和相关线段的长度．2．待定系数法求解相关函数的解析式．3．相似三角形中，注意寻找不变的量和相等的量(角和线段)．4．当三角形的三边不能用题目中的未知量表示时，注意利用相似三角形的转化求解．5．根据题目条件，注意快速、正确画图，用好数形结合思想．6．注意利

4、用好二次函数的对称性．7．利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解都是常用方法．,典题精讲)◆已知有一个角相等的情形第10页【例1】(2017怀化中考)如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－5与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数解析式；(2)若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；(3)如图②，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；(4

5、)若点k为抛物线的顶点，点M(4，m)是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．,图①),图②),备用图)【解析】(1)根据待定系数法直接求抛物线解析式；(2)分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标；(3)先求出直线BC的解析式，进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式，即可求出最大值；(4)利用对称性找出点P，Q的位置，进而求出P，Q的坐标．【答案】解：(1)∵点A(－1，0)，B(5，0)在抛物线y＝ax2＋bx－5上，∴∴∴抛物线的解析式为y＝x2－4x－5；图①(2)如图①，令x＝0，则y＝－5，∴C(0，－5)

6、，∴OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，第10页∴AB＝6，BC＝5，要使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，则有＝或＝，①当＝时，CD＝AB＝6，∴D(0，1)．①当＝时，∴＝，∴CD＝，∴D，即D的坐标为(0，1)或；(3)设H(t，t2－4t－5)，∵CE∥x轴，∴点E的纵坐标为－5，∵E在抛物线上，∴x2－4x－5＝－5，∴x＝0(舍)或x＝4，∴E(4，－5)，∴CE＝4，∵B(5，0)，C(0，－5)，∴直线BC的解析式为y＝x－5，∴F(t，t－5)，∴HF＝t－5－(t2－4t－5)＝－＋，∵CE∥x轴，HF∥y轴，∴CE⊥HF，∴S四边形CHEF＝CE·HF＝

7、－2＋，图②当t＝时，四边形CHEF的面积最大为；(4)如图②，∵K为抛物线的顶点，第10页∴K(2，－9)，∴K关于y轴的对称点K′(－2，－9)，∵M(4，m)在抛物线上，∴M(4，－5)，∴点M关于x轴的对称点M′(4，5)，∴直线K′M′的解析式为y＝x－，∴P，Q.◆已知有两个角相等的情形【例2】(2017宁波中考)如图，抛物线y＝x2＋x＋c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连接AB，点C在抛物线上，直