《复变函数论》第二章

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1、第二章复变函数第一节解析函数的概念及C.-R.方程1、导数、解析函数定义2.1：设是在区域内确定的单值函数，并且。如果极限存在，为复数，则称在处可导或可微，极限称为在处的导数，记作，或。定义2.2：如果在及的某个邻域内处处可导，则称在处解析；如果在区域内处处解析，则我们称在内解析，也称是的解析函数。解析函数的导（函）数一般记为或。注解1、语言，如果任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时，，则称在处可导。注解2、解析性与连续性：在一个点的可导的函数必然是这个点的连续函数；反之不一定成立；注解3、解析性与可导性：在一个

2、点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解4、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。解析函数的四则运算：和在区域内解析，那么，，（分母不为零）也在区域内解析，并且有下面的导数的四则运算法则：。复合求导法则：设在平面上的区域内解析，在平面上的区域内解析，而且当时，，那么复合函数在内解析，并且有求导的例子：（1）、如果（常数），那么；（2）、，；（3）、的任何多项式在整个复平面解析，并且有（4）、在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解

3、析的，它的导数的求法与是实变量时相同。2、柯西-黎曼条件可微复变函数的实部与虚部满足下面的定理：定理2.1设函数在区域内确定，那么在点可微的充要条件是：1、实部和虚部在处可微；2、和满足柯西-黎曼条件（简称方程）证明：（必要性）设在有导数，根据导数的定义，当时其中，。比较上式的实部与虚部，得因此，由实变二元函数的可微性定义知，，在点可微，并且有因此，柯西-黎曼方程成立。（充分性）设，在点可微，并且有柯西-黎曼方程成立：设则由可微性的定义，有：令，当（）时，有令，则有所以，在点可微的。定理2.2设函数在区域内确定，那么在区域

4、内解析的充要条件是：1、实部和虚部在内可微；2、)和在内满足柯西-黎曼条件（简称方程）关于柯西-黎曼条件，有下面的注解：注解1、解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是方程的一组解，它们是在研究流体力学时得到的；注解2、解析函数的导数形式更简洁：公式可避免利用定义计算带来的困难。注解3、利用两个定理，可以判断一个复变函数是否在一点可微或在一个区域内解析。3、例题例1证明在任何点都不可微。解，四个偏导数在复平面内连续，但任何点都不满足方程，故在任何点都不可微。例2试讨论定义于复平面内的函数的可导性。解：四个偏导数在复平面内

5、连续，且在复平面内满足方程，故在复平面内处处可导。例3设函数在复平面可导，试确定常数之值。解由方程得（1）（2）由（1）得（3）由（2）得（4）（5）解（3），（4），（5）得。第二节初等解析函数1、幂函数利用对数函数，可以定义幂函数：设是任何复数，则定义的次幂函数为当为正实数，且时，还规定。由于因此，对同一个的不同数值的个数等于不同数值的因子个数。2、幂函数的基本性质：1、由于对数函数的多值性，幂函数一般是一个多值函数；2、当是正整数时，幂函数是一个单值函数；1、当（当是正整数）时，幂函数是一个值函数；2、当是有理数时，

6、幂函数是一个值函数；3、当是无理数或虚数时，幂函数是一个无穷值多值函数。设在区域内，我们可以把分成无穷个解析分支。对于的一个解析分支，相应地有一个单值连续分支。根据复合函数求导法则，的这个单值连续分支在内解析，并且,其中应当理解为对它求导数的那个分支，应当理解为对数函数相应的分支。对应于在内任一解析分支：当是整数时，在内是同一解析函数；当时，在G内有个解析分支；当是无理数或虚数时，幂函数在内有无穷多个解析分支，是一个无穷值多值函数。例如当是大于1的整数时，称为根式函数，它是的反函数。当时，有这是一个值函数。在复平面上以负实

7、轴（包括0）为割线而得得区域内，它有个不同的解析分支：它们也可以记作，这些分支在负实轴的上沿与下沿所取的值，与相应的连续分支在该处所取的值一致。当不是整数时，原点及无穷远点是的支点。但按照a是有理数或者不是有理数，这两个支点具有完全不同的性质。为了理解这些结论，我们在0或无穷远点的充分小的邻域内，任作一条简单闭曲线围绕0或无穷远点。在上任取一点，确定在的一个值；相应地确定,在的一个值。现在考虑下列两种情况：(1)是有理数，当一点从出发按反时针或顺时针方向连续变动周时，从连续变动到，而则从相应地连续变动到,也即第一次回到了它

8、从出发时的值。这时，我们称原点和无穷远点是的阶支点，也称为阶代数支点。（2）不是有理数时，容易验证原点和无穷远点是的无穷阶支点。当不是整数时，由于原点和无穷远点是的支点，所以任取连接这两个支点的一条简单连续曲线作为割线，得一个区域。在内，可以把分解成解析分支。关于幂函数当为正实数时的映射性质，有下面的结