二次函数综合复习辅导讲义

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1、学科教师辅导讲义学员编号:年级:九年级课时数:学员姓名:辅导科目:数学学科教师:课题二次函数综合复习授课日期及时段教学目的1、掌握二次函数定义和二次函数的图像和性质;2、会用待定系数法求函数的解析式;3.会根据二次函数的性质解决综合性问题。教学内容二次函数图象的平移1.平移步骤:方法一:⑴将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;⑵保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下:2.平移规律在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”.方法二:⑴沿轴平移:向上(下)平移个单

2、位,变成(或)⑵沿轴平移:向左(右)平移个单位,变成(或)二次函数与的比较从解析式上看,与是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即,其中.二次函数图象的画法五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点,(若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点.二次函数的性质1.当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为

3、.当时,随的增大而减小;当时,随的增大而增大;当时,有最小值.2.当时,抛物线开口向下,对称轴为,顶点坐标为.当时,随的增大而增大;当时,随的增大而减小;当时,有最大值.二次函数解析式的表示方法1.一般式:(,,为常数,);2.顶点式:(,,为常数,);3.两根式:(,,是抛物线与轴两交点的横坐标).注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数

4、二次函数中,作为二次项系数,显然.⑴当时,抛物线开口向上,的值越大,开口越小,反之的值越小,开口越大;⑵当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大,开口越大.总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小.2.一次项系数在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴.⑴在的前提下,当时,,即抛物线的对称轴在轴左侧;当时,,即抛物线的对称轴就是轴;当时,,即抛物线对称轴在轴的右侧.⑵在的前提下,结论刚好与上述相反,即当时,,即抛物线的对称轴在轴右侧;当时,,即抛物线的对称轴就是轴;当时,,

5、即抛物线对称轴在轴的左侧.总结起来,在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置.的符号的判定:对称轴在轴左边则,在轴的右侧则,概括的说就是“左同右异”总结:3.常数项⑴当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正;⑵当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为;⑶当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负.总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置.总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定:根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数

6、的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:1.已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;2.已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;4.已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达1.关于轴对称关于轴对称后,得到的解析式是;关于轴对称后,得到的解析式是;2.关于轴对称关于轴对称后,得到的解析式是;关于轴对称后,得到的解析式是;3.关于原点对称关于原点

7、对称后,得到的解析式是;关于原点对称后,得到的解析式是;4.关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180°)关于顶点对称后,得到的解析式是;关于顶点对称后,得到的解析式是.5.关于点对称关于点对称后,得到的解析式是根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.二次函数与一元二次方程:1

8、.二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与轴交点情况):一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数:①当时,图象与轴交于两点,其中的是一元二次方程的两根.这两点间的距离.②当时,图象与轴只有一个交点;③当时,图象与

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