差分方程数学建模举例

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1、差分方程建模举例差分方程建模方法的思想与与一般数学建模的思想是一致的，也需要经历背景分析、确定目标、预想结果、引入必要的数值表示（变量、常量、函数、积分、导数、差分、取最等）概念和记号、几何形式（事物形状、过程轨迹、坐标系统等），也就是说要把事物的性态、结构、过程、成分等用数学概念、原理、方法来表现、分析、求解。当然，由于差分方程的特殊性，首先应当把系统或过程进行特别分解，形成表现整个系统的各个部分的离散取值形式，或形成变化运动过程的时间或距离的分化而得到离散变量。然后通过内在的机理分析，找出变量所能满足的平衡关系、增量或减量关系及规律，从而得到差分方程。另外，有时有可能通过多个离散变量的

2、关系得到我们关心的变量的关系，这实际上建立的是离散向量方程，它有着非常重要的意义。有时还需要找出决定变量的初始条件。有时还需要将问题适当分成几个子部分，分别求解。模型1种群生态学中的虫口模型：在种群生态学中，考虑像蚕、蝉这种类型的昆虫数目的变化，他的变化规律是：每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。建立数学模型来表现虫子数目的变化规律。模型建立：假设第n年的虫口数目为，每年一个成虫平均产卵c个（这个假设有点粗糙，应当考虑更具体的产卵分布状况），则有：，这是一种简单模型；如果进一步分析，由于成虫之间会有争斗以及传染病、天敌等的威胁，第n+1年的成虫数会减少，如

3、果考虑减少的主要原因是虫子之间的两两争斗，由于虫子配对数为，故减少数应当与它成正比，从而有：这个模型可化成：，这是一阶非线性差分方程。这个模型的解的稳定性可以用相应一阶差分方程的判断方法来获得。如果还考虑其它的影响成虫孵卵及成活的因素的定量关系，这个模型在此基础上仍可进一步改进，更加符合实际情形。这种关系一方面可以通过机理分析，确定减少量与影响因素的定量关系，另一方面也可以用统计的方法来线性估计影响程度。或者还可以用影响曲线的方法来直观表现影响的比例关系、周期关系、增量关系等等。模型2蛛网模型经济背景与问题：在自由市场经济中，有些商品的生产、销售呈现明显的周期性。农业产品往往如此，在工业生

4、产中，许多商品的生产销售是有周期性的，表现在：商品的投资、销售价格、产量、销售量在一定时期内是稳定的，因而整个某个较长的时期内这些经济数据表现为离散变量的形式。在这些因素中，我们更关心的是商品的销售价格与生产产量这两个指标，它们是整个经营过程中的核心因素，要想搞好经营，取得良好的经济效益，就必须把握好这两个因素的规律，作好计划。试分析市场经济中经营者根据市场经济的规律，如何建立数学模型来表现和分析市场趋势的。模型假设与模型建立将市场演变模式划分为若干段，用自然数n来表示；设第n个时段商品的数量为，价格为，n=1,2…。由于价格与产量紧密相关，因此可以用一个确定的关系来表现：即设有这就是需求

5、函数，f是单调减少的对应关系;又假设下一期的产量是决策者根据这期的价格决定的，即：设，h是单调增加的对应关系，从而，有关系：（3.4）g也是单调增加的对应关系.因此可以建立差分方程：（3.5）（3.6）这就是两个差分方程。属一阶非线性差分方程。模型的几何表现与分析。为了表现出两个变量和的变化过程，我们可以借助已有的函数f和g,通过对应关系的几何表现把点列，和在坐标系中描绘出来，进而分析它们的变化规律、趋势、找稳定点等等。其中将点列连接起来，就会形成象蛛网一样的折线，这个图形被称作为蛛网模型。可以设想，这种形式作为差分方程分析与求解的重要手段，它的主要数学技术是：图形的描绘，曲线上点列的描绘

6、（设法由前一个点的一个坐标分量来算出下一个点的一个坐标分量，并确认它在哪条曲线上，就可以画出这个点；有时或者可由前两个点决定下一个点的一个坐标分量），也就是通过直观、几何形式，把我们关心的变量的所有可能取值表示出来。这里采用的方法是，引入两条曲线，因为在曲线上如果知道了一个分量，就可以作出另一个分量。可见几何形式表示有关系的变量是既方便又有意义的。易见：如果点列最后收敛于点，则，并且就是两条曲线的交点，从而稳定的。这也表明，市场在长期运行之后会保持一种稳定的状态，说明市场处于饱和状态。要想进一步发展就必须打破这种平衡，在决策机制和方法上有所改进。几何上的进一步分析表明，如果曲线和在交点处切

7、线的斜率的绝对值记为：，则当时，是稳定的；当时，是不稳定的。模型的差分方程分析：设点满足：，在点附近取函数的一阶近似：合并两式可得：这是关于的一阶线性差分方程。当然它是原来方程的近似模型。作为数学模型，本来就是客观实际问题的近似模拟，现在为了处理方便，适当取用其近似形式是合理的。其中，为f在点处的切线斜率；为g(x)在点处切线的斜率。方程（3.9）递推可得：所以，点稳定的充要条件是：即：这个结论与蛛网模型的分析结果是一致