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《高等数学第九章重积分第四节重积分应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、立体体积第九章重积分第四节上页下页返回结束质心与转动惯量曲面的面积重积分的应用一、立体体积曲顶柱体:其体积为占有空间有界域的立体的体积为上页下页返回结束顶为连续曲面底为xOy平面上区域D方法一、利用二重积分方法二、利用三重积分Dxy:a0yxDxy联立采用柱面坐标例1.解上页下页返回结束上任一点的切平面与所围立体的体积V.解曲面的切平面方程为它与曲面的交线在xOy面上的投影为(记所围域为D)在点例2.求曲面上页下页返回结束曲面例3.求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积.解在球坐标系下空间立体所占区域则立体
2、体积为上页下页返回结束.二、曲面的面积卫星实例一颗地球同步轨道通讯卫星的轨道位于地球的赤道平面内，且可近似认为是圆轨道．通讯卫星运行的角速度与地球自转的角速度相同，若地球半径取为R,问卫星距地面的高度h应为多少？通讯卫星的覆盖面积是多大？即人们看到它在天空不动．上页下页返回结束问题：曲面的面积如何计算？设曲面S的方程为：如图，曲面S上对应点为上页下页返回结束o曲面S的面积元素曲面面积公式为：上页下页返回结束３．设曲面的方程为：则曲面面积公式为：２．设曲面的方程为：则曲面面积公式为：小结1.设曲面S的方程为：则曲面面积公式为：上
3、页下页返回结束解上页下页返回结束例5.计算半径为a的球的表面积.解一关于球面坐标，球面的面积元素为解二利用直角坐标方程.(见课本P109)利用球面坐标方程.上页下页返回结束球面方程是解解方程组得两曲面的交线（为圆周）：在xOy平面上的投影域为上页下页返回结束上页下页返回结束三、物体的质心设空间有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系的质心坐标设物体占有空间域,有连续密度函数则公式,分别位于为为即采用“大化小,常代变,近似和,取极限”可导出其质心上页下页返回结束将分成n小块,将第k块看作质量集中于点例如令各小区域的最大直径系
4、的质心坐标就近似等于该物体的质心坐标.的质点,即得质心坐标此质点在第k块上任取一点上页下页返回结束同理可得则得上页下页返回结束形心坐标：若物体为占有xOy面上区域D的平面薄片,(A为D的面积)得D的形心坐标:则它的质心坐标为其面密度—对x轴的静力矩—对y轴的静力矩上页下页返回结束例7.求位于两圆和薄片的质心.解由对称性可知而之间均匀上页下页返回结束例8.一个炼钢炉为旋转体形,剖面壁线的方程为内储有高为h的均质钢液,解由对称性可知质心在z轴上，采用柱面坐标,炉壁方程为因此故自重,求它的质心.若炉不计炉体的质心坐标上页下页返回结束
5、上页下页返回结束算得四、物体的转动惯量设物体占有空间区域,有连续分布的密度函数该物体位于(x,y,z)处的微元因此物体对z轴的转动惯量:对z轴的转动惯量为因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故连续体的转动惯量可用积分计算.上页下页返回结束空间点(x,y,z)到z轴的距离平方类似可得:对x轴的转动惯量对y轴的转动惯量对原点的转动惯量上页下页返回结束空间点(x,y,z)到原点O的距离平方空间点(x,y,z)到z轴的距离平方空间点(x,y,z)到x轴的距离平方如果物体是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.上页下
6、页返回结束平面点(x,y)到原点O的距离平方平面点(x,y)到y轴的距离平方解则对y轴的转动惯量为对x轴的转动惯量为上页下页返回结束设薄板的面密度为解取球心为原点,z轴为l轴,则球体的质量例10.求均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量.设球所占域为(用球坐标)上页下页返回结束G为引力常数五、物体的引力设物体占有空间区域,物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法,在上积分可得各引力分量:其密度函数引力元素在三坐标轴上的投影分别为上页下页返回结束对于xOy面上的平面薄片D,它对原点处的单位质量质点的引力分量分别为上页下页
7、返回结束例11.设面密度为μ,半径为R的圆形薄片求它对位于点解由对称性知引力处的单位质量质点的引力.。上页下页返回结束例12.求半径R的均匀球对位于的单位质量质点的引力.解利用对称性知引力分量点上页下页返回结束为球的质量上页下页返回结束作业P11026；27；28；29；30；31；32；35；36上页下页返回结束(t为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程设长度单位为厘米,时间单位为小时,设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9),问高度为130cm的雪堆全部融化需要多少小时?上页下页返回结束2001考
8、研试题提示:记雪堆体积为V,侧面积为S,则用极坐标上页下页返回结束由题意知令得(小时)因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100小时.上页下页返回结束
