高等数学第九章重积分第三节三重积分

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1、三重积分的概念第九章重积分第三节上页下页返回结束三重积分三重积分计算直角坐标情形柱面坐标情形球面坐标情形一、三重积分的概念类似二重积分解决问题的思想,采用引例:设在空间有界闭区域内分布着某种不均匀物质,求含在内物质可得“分割,作近似和,求极限”解决方法:的质量M.体密度函数为上页下页返回结束定义.设存在,为体积元素,任意分割为:任取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下三重积分具有与二重积分类似的性质.性质:例如如果中值定理.在有界闭域上连续,则存在使得V为的体积,记作上页下页返回结束称二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.投影法(“先一

2、后二”)方法3.截面法(“先二后一”)方法2.三次积分法上页下页返回结束方法1.投影法记作上页下页返回结束将积分区域向xOy坐标面投影,则得平面区域D,于是(“先一后二”)..由投影法(“先一后二”)方法2.三次积分法设平面区域把二重积分化成二次积分,得三次积分上页下页返回结束其中为三张例1.计算三重积分所围成的闭区域.解一坐标面与平面上页下页返回结束(x,y)D:D解二上页下页返回结束投影区域因此例2.设计算解先一后二,再利用定积分关于积分区间的对称性和被积函数的奇偶性,得原式=奇函数上页下页返回结束另解因为积分区域关于xOy坐标面对称,且被积函数关于z为奇函数,因此,

3、原式=0.方法3.截面法记作上页下页返回结束先确定积分区域中z坐标的变化范围,则再作截面,得(“先二后一”)例3.计算三重积分解用“先二后一”上页下页返回结束小结:直角坐标情形三重积分的计算方法方法1.“先一后二”方法3.“先二后一”方法2.“三次积分”具体计算时应根据被积函数以三种方法各有特点,及积分区域的特点灵活选择.上页下页返回结束2.利用柱面坐标计算三重积分为点M的柱面坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面上页下页返回结束称在柱面坐标系中体积元素为因此适用范围:1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;2)被积函数用柱面坐标表示时变量能被分离.上页

4、下页返回结束其中例4.计算三重积分解在柱面坐标系下及平面为由柱面所围成的右半圆柱体.上页下页返回结束例5.计算三重积分解在柱面坐标系下所围成.与平面其中由抛物面原式=上页下页返回结束解的交线为z=1平面上的圆关于柱面坐标系，两曲面得上页下页返回结束3.利用球面坐标计算三重积分称为点M的球面坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面上页下页返回结束如图所示,在球面坐标系中体积元素为因此其中适用范围:1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2)被积函数用球面坐标表示时变量能互相分离.上页下页返回结束例7.计算三重积分解在球面坐标系下所围立体.其中与球面上页下页返

5、回结束例8.求曲面所围立体体积.解由曲面方程可知,立体位于xOy面上部,利用对称性,所求立体体积为yOz面对称,并与xOy面相切,故在球坐标系下所围立体为且关于xOz上页下页返回结束1.将用三次积分表示,其中由所提示:思考与练习六个平面围成,上页下页返回结束2.设由锥面和球面所围成,计算提示:利用对称性用面球坐标上页下页返回结束3.计算其中利用对称性上页下页返回结束作业P10916；17；18;19；20;23；24;25;33上页下页返回结束