高阶导数隐函数及由参数方程所确定函数的导数

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1、第三节二、高阶导数的运算法则一、高阶导数的概念高阶导数、隐函数及由参数方程所确定函数的导数三、隐函数的导数四、由参数方程确定的函数的导数一、高阶导数的概念速度即加速度即引例：变速直线运动定义.若函数的导数可导,或即或类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n阶导数,或的二阶导数,记作的导数为依次类推,分别记作则称设求解:依次类推,例1.设问可得例2.设求解:特别有:解:规定0!=1思考:例3.设求例4.设求解:一般地,类似可证:二、高阶导数的运算法则都有n阶导数,则(C为常数)莱布尼兹(Leibniz)公式及设函数用数学归纳

2、法可证莱布尼兹公式成立.例5.求解:设则由莱布尼兹公式,得例6.解:解:例7.解:设求其中f二阶可导.例8.三、隐函数的导数若由方程可确定y是x的函数,由表示的函数,称为显函数.例如,可确定显函数可确定y是x的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数.则称此隐函数求导方法:两边对x求导(含导数的方程)例9.求由方程在x=0处的导数解:方程两边对x求导得因x=0时y=0,故确定的隐函数例10.求椭圆在点处的切线方程.解:方程两边对x求导故切线方程为即例11.求由方程的二阶导数解:方程两边对x求导，得故确定的隐函数上式两边再对x求导，得例12

3、.求的导数.解:原式两边取对数,得上式两边对x求导，得注：有些显函数用对数求导法求导很方便.例如上式两边同时取对数上式两边同时对x求导又如上式两边对x求导上式两边取对数四、由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个y与x之间的可导,且时,有函数关系,若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得?例13.设,且求已知解:注意:例14.设由方程确定函数求解:各方程两边对t求导,得故即例15.抛射体运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向.解:先求速度大小:速度的水平分量为垂直分量为故

4、抛射体速度大小再求速度方向(即轨迹的切线方向):设为切线倾角,则抛射体轨迹的参数方程速度的水平分量垂直分量在刚射出(即t=0)时,倾角为达到最高点的时刻高度落地时刻抛射最远距离速度的方向