实验校八下数学第十六讲(1)

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1、八下数学实验校满分能力提升主编徐采钰徐鸣第十六讲正方形（一）知识点：１．正方形的四条边都相等，两组对边分别平行；２．正方形四个角都相等，都为９０°；３．正方形对角线互相平分且相等，每一条对角线平分一组对角；４．正方形是轴对称图形，有四条对称轴．１．正方形ＡＢＣＤ中，点Ｅ为边ＢＣ的上一动点，点Ｆ是边ＣＤ上一动点，ＡＦ⊥ＤＥ于点Ｇ．若点Ｅ是ＢＣ的中点，则ＤＦ＝ＣＤ；若ＢＣ＝ｎＢＥ，则ＤＦ＝ＣＤ．第１题图第２题图第３题图２．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝５，ＢＣ＝１２，∠ＢＡＣ，∠ＡＢＣ的平分线交于点Ｄ，过Ｄ作ＤＥ⊥ＡＣ于Ｅ，ＤＦ⊥ＢＣ于Ｆ，则四

2、边形ＤＥＣＦ的面积为．３．如图，在边长为６的正方形ＡＢＣＤ中，点Ｆ为ＣＤ上一点，Ｅ是ＡＤ的中点，ＤＦ＝２，点Ｇ在ＢＣ上，且ＥＧ⊥ＡＦ，则ＢＧ的长是．４．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＞ＢＣ，分别以ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ为一边向△ＡＢＣ外作正方形ＡＢＤＥ，ＢＣＭＮ，ＣＡＦＧ，连接ＥＦ，ＧＭ，ＮＤ，设△ＡＥＦ，△ＣＧＭ，△ＢＮＤ的面积分别为Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，则Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３的大小关系是．５．将ｎ个边长都为１ｃｍ的正方形按如图所示的方法摆放，点Ａ１，Ａ２，…，Ａｎ分别是正方形的中心，则ｎ个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为．第４题图第５题图第６

3、题图６．如图，正方形ＡＢＣＤ的边长为４，Ｇ是边ＢＣ上的一点，且ＢＧ＝３，连ＡＧ，过Ｄ作ＤＥ⊥ＡＧ于点Ｅ，ＢＦ／／ＤＥ交ＡＧ于点Ｆ，则ＥＦ的长为．７．如图，菱形ＡＢＣＤ的面积为２０，点Ｅ，Ｆ在对角线ＢＤ上，正方形ＡＥＣＦ的面积为１０，则菱形的边长是．第７题图第８题图第９题图８．如图，在正方形ＡＢＣＤ中，对角线ＢＤ＝２０槡２，点Ｅ，Ｆ分别在边ＡＢ，对角线ＢＤ上，ＡＥ＝３，ＤＦ＝８槡２，点Ｇ在边ＢＣ上，ＦＧ＝ＦＥ，则ＢＧ长为．—４５—八下数学实验校满分能力提升欢迎加入实验校初中数学满分群１３９２３４３２２９．如图，在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２，延长ＡＢ至点Ｅ，

4、使得ＢＥ＝１，ＥＦ⊥ＡＥ，ＥＦ＝ＡＥ．分别连接ＡＦ，ＣＦ，Ｍ为ＣＦ的中点，则ＡＭ的长为．１０．如图，点Ｐ是四边形ＡＢＣＤ内一点，且满足ＰＡ＝ＰＢ，ＰＣ＝ＰＤ，∠ＡＰＢ＝∠ＣＰＤ，点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别为边ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ的中点．（１）请探究四边形ＥＦＧＨ的形状；（２）直接写出当题目还满足什么条件时，四边形ＥＦＧＨ为正方形？１１．已知，如图，在正方形ＡＢＣＤ中，点Ｅ是边ＡＢ上一点，将线段ＥＣ绕点Ｅ逆时针旋转９０°到ＥＦ的位置，连接ＡＦ，ＣＦ，ＢＤ，且ＣＦ与ＢＤ交于点Ｇ．请探究ＡＦ，ＤＧ，ＢＣ的数量关系．１２．已知，如图，点Ｐ，Ｑ为正方形ＡＢＣＤ内两点，

5、ＡＢ＝ＢＱ，且∠ＡＢＱ＝３０°，ＢＰ平分∠ＱＢＣ，ＢＰ＝ＤＰ，若ＢＣ＝槡３＋１，求线段ＰＱ的长．—４６—八下数学实验校满分能力提升主编徐采钰徐鸣１３．在正方形ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ分别在边ＢＣ，ＣＤ上，且∠ＥＡＦ＝４５°．（１）如图１，求证：ＢＥ＋ＤＦ＝ＥＦ（或△ＣＥＦ的周长是正方形ＡＢＣＤ周长的一半）；２２２（２）如图２，连接ＢＤ，分别交ＡＥ于点Ｇ，交ＡＦ于点Ｈ，求证：ＢＧ＋ＤＨ＝ＧＨ；２２２（３）如图３，直线ＥＦ与ＡＢ，ＡＤ的延长线分别交于点Ｍ，Ｎ，若∠ＣＥＦ＝４５°，求证：ＥＦ＝ＭＥ＋ＮＦ；（４）如图４，将（３）中的正方形改为长与宽不相等的矩形，若其

6、余条件不变，请你直接写出线段ＥＦ，ＢＥ，ＤＦ之间的数量关系．变式一：如图，点Ｅ，Ｇ分别是正方形ＡＢＣＤ的边ＣＤ，ＢＣ上的点，连接ＡＥ，ＡＧ分别交对角线ＢＤ于点Ｐ，Ｑ．若∠ＥＡＧ＝４５°，ＢＱ＝４，ＰＤ＝３，求正方形ＡＢＣＤ的边长．—４７—八下数学实验校满分能力提升欢迎加入实验校初中数学满分群１３９２３４３２２变式二：如图，已知点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别在正方形ＡＢＣＤ的边ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上，ＥＦ和ＧＨ交于点Ｏ，∠ＨＯＥ＝１３５°，ＧＨ＝４槡５，ＤＣ＝８，求ＥＦ的长．变式三：在正方形ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ分别在ＢＣ，ＣＤ上，∠ＥＡＦ＝４５°．（１）当点Ｆ是Ｃ

7、Ｄ中点时，求证：ＣＥ＝２ＢＥ；（２）当ＣＥ＝２ＢＥ时，求证：ＤＦ＝ＣＦ．变式四：如图，在平面直角坐标系中，Ｏ为坐标原点，Ａ（０，１２），四边形ＯＡＢＣ为正方形，Ｄ为ｘ轴上一点，且ＯＤ＝８，Ｑ为ｙ轴正半轴上一点，且∠ＤＢＱ＝４５°，求点Ｑ的坐标．—４８—八下数学实验校满分能力提升主编徐采钰徐鸣变式五：在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＡＤ，Ｅ，Ｆ分别为边ＣＤ，ＢＣ边上的点，且∠ＢＡＤ＝２∠ＥＡＦ，试探究当∠Ｂ与∠Ｄ满足什么关系时，ＤＥ＋ＢＦ＝ＥＦ？１５．已知，如图，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ为ＡＤ的中点，Ｆ为ＡＤ上一点，连接ＢＥ，ＢＦ，且ＢＥ＝２槡５，∠ＦＢＣ＝２∠Ａ

8、ＢＥ．求ＤＦ的长．１６．如图，边长为４的正方形ＡＢＣＤ的对角线交于点Ｏ，点Ｅ，Ｆ