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1、A题：AdHoc无线网络大气污染所引起的地球气候异常，导致大面积严重森林大火的频频发生，给人民的生命财产造成巨大损失。因此，不少国家政府都在研究有效的森林防火措施。在容易出现高森林火险的重点地区放置高科技的监视装置，建立遥测遥感网，使人们能准确而及时地掌握险情的发展情况，为有效地防止火灾发生或在酿成严重灾害之前将其扑灭创造条件。科技的迅速发展使人们可以制造不太昂贵且具有收发报通讯功能的监视装置。放置在同一监视区域内的这种监视装置（以下简称为装置）构成一个AdHoc无线网络，即通常所说的遥测遥感网。如果监视区域的每一点都处于放置在该区域内某个装置的监视范围内，则称这些装置能覆盖该监视区
2、域。研究能确保有效（即按一定概率）覆盖且数量最少的装置系统的随机放置问题显然具有重要意义。第一个问题涉及能覆盖给定监视区域的装置数目及分配问题，具体如下：A1设监视区域为边长b=100(长度单位)的正方形，每个装置的监视半径均为r=10(长度单位)。请参考蜂窝网格的特性讨论覆盖该区域所需装置的最少数量。A2在设计遥测遥感网时，首先需要知道对给定监视区域在一定的覆盖保证下应放置装置的最佳（越少越佳）数量，并且常假设装置在监视区域内是均匀地随机放置的。请在上述假设下建立数学模型，利用随机模拟实验回答：对于A1中给定的监视区域及监视半径，至少需要随机放置多少个装置，才能使得成功覆盖整个区域
3、的概率在95%以上？并给出一个均匀随机放置装置的分布图。A3对一般矩形的监视区域进一步探讨以上问题。由于监视旱情的遥测遥感网地处边远地区，它的每个（除极少数例外）装置都只能以电池为能源，电池用尽装置即报废。因此，如何节省电池能耗是设计此类网络运行方案的头等大事。常用的一个很有效的节能措施是：让大多数装置“休眠”只保留尽可能少的装置“值班”。对同时选出的这些值班装置的全体，必须要求它们整体具有与遥测遥感网的每个装置都能联系的功能，从而保证当任何休眠装置定时“苏醒”后若发现“险情”，都能及时向值班者之一传递险情信息。遥测遥感网的若干装置组成的子集S称为一个支配集，如果该遥测遥感网中不属于
4、S的任一装置必位于S中某个装置的通讯范围之内（即二者可互相交换信息）。不言而喻，上述同时“值班”的装置的集合必须要求是该遥测遥感网络的一个支配集。从实际应用的角度来说，这种支配集的优劣以其包含的装置个数来衡量（越少越优）。此外，如果把考虑的遥测遥感网视为一个无向图（每个装置是它的顶点，二顶点相邻接当且仅当二点间的距离小于公共的通讯半径R）。支配集按图论意义是连通者更为可取，因为通过仅在支配集内部传递信息的手段可以让它的每个装置共享任一装置所得到的信息，这样的支配集自然称为连通支配集。第二个问题涉及求元素尽可能少的支配集和连通支配集的问题，具体如下：B1设监视区域为边长b=100（长度
5、单位）的正方形，每个装置的通讯半径均为R=10（长度单位）。已知在该监视区域内放置了120个装置，它们位置的横、纵坐标依次是：x=57,95,34,31,52,30,15,75,75,65,55,41,36,72,16,85,86,75,32,5,16,25,72,68,61,37,48,81,23,35,6,85,64,22,69,80,76,88,25,62,70,45,35,75,35,56,27,92,25,44,5,17,90,25,58,95,87,68,30,9,32,47,50,56,56,47,80,10,12,63,39,81,43,17,80,45,92,78,
6、89,51,40,65,76,30,26,28,25,29,40,4,74,41,39,95,72,79,78,10,8,15,45,70,90,84,20,40,55,5,73,22,17,50,55,87,72,55,7,85,35,10.y=58,74,12,68,67,4,75,52,30,28,63,61,20,24,10,49,90,90,20,92,35,66,4,33,35,78,46,31,90,66,33,9,37,13,43,83,13,94,95,45,70,42,9,41,91,30,92,90,58,52,80,33,5,74,47,2,72,88,28,
7、9,95,71,43,43,25,25,64,96,33,70,9,89,14,25,55,61,40,22,45,51,90,49,7,98,34,99,8,63,83,11,44,25,21,51,76,8,44,80,89,95,90,82,78,78,70,71,70,95,18,28,80,10,20,22,98,79,2,20,50,68.请建立数学模型找出一个较好的支配集；画出该120个装置的分配图，并在此图上标出所找到的支配集。B2对于你在
