《角的平分线》教案

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1、《角的平分线》教案教学目标(一)教学知识点1．角平分线的性质定理的证明．2．角平分线的逆定理的证明．3.定理的应用.(二)能力训练要求1．进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力．2．体验解决问题策略的多样性，提高实践能力．(三)情感与价值观要求1．能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．教学重点角平分线的定理的证明．教学难点1．正确地表述角平分线性质定理的逆命题．2．正确地将文字语

2、言转化成符号语言和图形语言，对几何命题加以证明．教学方法探索——引导法教学过程一、设置情境问题，搭建探究平台问题：同学们知道角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？下面我们用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：(1)在一张纸上任意画一个角∠AOB，沿角的两边将角剪下，将这个角对折，使角的两边重合(2)在折痕(即角平分线)上任意取一点C(3)过点C折OA边的垂线，得到新的折痕CD，其中，点D是折痕与OA边的交点，即垂足(4)将纸打开，新的折痕与OB边的交点为E从折纸过程中，我们可以得

3、出CD＝CE，即角平分线上的点到角两边的距离相等．[师]你能证明它吗？二、展示思维空间，构建活动空间[师]我们从折纸过程中得到了角平分线上的点的性质，我们还需运用所学的公理和已证的定理证明它．请同学们自己尝试着证明它，然后在全班进行交流．[生]已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．求证：PD＝PE．证明：∵∠1＝∠2，OP＝OP，∠PDO＝∠PEO＝90°，∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD＝PE(全等三角形的对应边相等)．(教师在教学过程

4、中对有困难的学生要给以指导)[师]我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论．我们把它叫做角平分线的性质定理，我们再来一起陈述：(用多媒体演示)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．我们经常用逆向思维得到一个原命题的逆命题．你能写出这个定理的逆命题吗？我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题．[生]如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．[生]我觉得这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而

5、角的外部也存在到角两边距离相等的点．[师]这位同学思考问题很仔细．事实上，从同一点出发的两条射线一般组成两个角，而“角的内部”通常是指其中小于180°的角的内部，其余部分为角的外部．如上图所示，到∠AOB两边距离相等的点的集合应是射线OC、OD、OE、OF，但其中只有射线OC(即在∠AOB内部的射线)才是∠AOB的平分线．因此逆命题中应加上“在角的内部”的条件．谁再来完整地叙述一下角平分线性质定理的逆命题呢？[生]在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．[师]它是真命题吗？[

6、生]没有加“在角的内部”时，是假命题．但根据题意我觉得应加上“在角的内部”这一条件，因此角平分线性质定理的逆命题是真命题．[师]你能证明它吗？(由大家自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导)[生]证明如下：已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD＝PE，求证：点P在∠AOB的角平分线上．证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°．在Rt△ODP和Rt△OEP中OP＝OP，PD＝PE，∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL定理)．∴∠1

7、＝∠2(全等三角形对应角相等)．[师]逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．给它起个名字吗？[生]我们就把它叫做角平分线的判定定理吧，因为满足条件的点在角平分线上，连接角的顶点与此点就得到了这个角的角平线了．[师]很好！我们就把它叫做角平分线的判定定理吧！我们一起再来陈述一下它的内容：在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．三、例题解析例：已知：△ABC中，∠B的角平分线BE与∠C的平分线CF相交于点P.求证：AP平分∠BAC.

8、证明：过点P作PM⊥BC，PNAB，垂足分别为M，N，Q.∵BE是∠B的平分线，点P在BE上，∴PQ=PM.(角平分线上的点到角两边的距离相等)同理，PN=PM.∴PN=PQ(等量代换)∴AP平分∠BAC.(角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上)四、随堂训练如图，AD、AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？解：∵AD平分∠CAB，∴∠1＝∠2＝∠CAB．又∵AE平分∠CAF，∴∠3＝∠4＝∠CAF．∵∠CAB＋∠CAF＝180°，∴∠1＋∠3＝(∠C