2015高考理科数学总复习题及解析-2函数、导数及其应用2-12 导数的综合应用

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1、[A组　基础演练·能力提升]一、选择题1．已知a≤＋lnx对任意x∈恒成立，则a的最大值为(　　)A．0　　　　　B．1　　　　　C．2　　　　　D．3解析：设f(x)＝＋lnx，则f′(x)＝＋＝.当x∈时，f′(x)<0，故函数f(x)在上单调递减；当x∈(1,2]时，f′(x)>0，故函数f(x)在(1,2]上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a≤0，即a的最大值为0.答案：A2．(2014年石家庄模拟)已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大时，其高的值为(　　)X

2、k

3、B

4、

5、1.c

6、O

7、mA．3B.C．2D．2解析：设正六棱柱的底面边长为a，高为h，则可得a2＋＝9，即a2＝9－，那么正六棱柱的体积V＝×h＝h＝，令y＝－＋9h，则y′＝－＋9，令y′＝0，得h＝2.易知当h＝2时，正六棱柱的体积最大．答案：D3．(2014年济南模拟)设函数ht(x)＝3tx－2t，若有且仅有一个正实数x0，使得h7(x0)≥ht(x0)对任意的正数t都成立，则x0＝(　　)A．5B.C．3D.解析：∵h7(x0)≥ht(x0)对任意的正数t都成立，∴h7(x0)≥ht(x0)max.记g(t)＝ht(x

8、0)＝3tx0－2t，则g′(t)＝3x0－3t，令g′(t)＝0，得t＝x，易得ht(x0)max＝g(x)＝x，因此，21x0－14≥x，将选项检验可得，正确答案为D.答案：D4．f(x)＝2x4－3x2＋1在上的最大值、最小值分别是(　　)A．21，－　　　　　　　　B．1，－C．21,0D．0，－解析：∵函数f(x)在上有最大值和最小值．∴f′(x)＝8x3－6x＝0，解得x＝0或x＝或x＝－(舍去)，∴f(x)max＝f(2)＝21，f(x)min＝f＝－.答案：A5．若函数f(x)＝在[－2,2]上的最大值为

9、2，则a的取值范围是(　　)A.B.C．(－∞，0]D.解析：当x≤0时，f′(x)＝6x2＋6x，易知函数f(x)在(－∞，0]上的极大值点是x＝－1，且f(－1)＝2，故只要在(0,2]上，eax≤2即可，即ax≤ln2在(0,2]上恒成立，即a≤在(0,2]上恒成立，故a≤ln2.答案：D6．做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为(　　)A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.解析：如图，设圆柱的底面半径为R，高为h

10、，则V＝πR2h.设造价为y＝2πR2a＋2πRhb＝2πaR2＋2πRb·＝2πaR2＋，∴y′＝4πaR－.令y′＝0，得＝.答案：C二、填空题7．函数f(x)＝x2－lnx的最小值为________．解析：由得x>1，由得0

11、f(x1)－f(x2)

12、≤t，则实数t的最小值是________．解析：f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，解得x＝±1，

13、所以1，－1为函数f(x)的极值点．因为f(－3)＝－18，f(－1)＝2，f(－1)＝－2，f(2)＝2，所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝2，f(x)min＝－18，所以对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，

14、f(x1)－f(x2)

15、≤20，所以t≥20，从而t的最小值为20.答案：209．已知函数f(x)＝ex－ae－x，若f′(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：由题意可知，f′(x)＝ex＋ae－x≥2恒成立，分离参数可得，a≥(2－ex)ex恒成立，令ex＝t(t>0)，问题

16、等价于a≥(－t2＋2t)max＝3.所以a∈[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)三、解答题10．(2014年长沙模拟)已知函数f(x)＝lnx＋－1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设m∈R，对任意的a∈(－1,1)，总存在x0∈[1，e]，使得不等式ma－f(x0)<0成立，求实数m的取值范围．解析：(1)f′(x)＝－＝，x>0.令f′(x)>0，得x>1，因此函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)．令f′(x)<0，得0

17、由(1)知，f(x)在x∈[1，e]上是增函数，∴f(x)max＝f(e)＝lne＋－1＝.新$课$标$第$一$网∴ma<，即ma－<0对于任意的a∈(－1,1)恒成立．∴解得－≤m≤.∴m的取值范围是.11．(2014年云南模拟)设f(x)＝ln(x＋1)＋ax(a∈R且a≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(