幂平均不等式的最优值

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1、万方数据万方数据万方数据6期王挽澜等：幂平均不等式的最优值我们要证明的主要结果如下：定螽耋羹季三蓦爹?；季琴霉ii掌轰《兰引m霎j霎至二娄姜差奏鬟；§；鏊囊辇羹鬈鏊冀鋈蠢藩j荔鬻一攀l?垂羹鬻蓦j善i=：蔓ii三雾．刍一摹萝繁囊娶耋一豢i葡住FL3i罄i÷i韵鬓霪萋l雾一。蕈i耋～i!j茎～妻{

2、哇一季一市!至；蠢薹～垂嗣羹：鬟霎耋；辇窭嘻lf囊i譬～莹0％茗l≤(34)式和(48)式，得州P，，)一s一(Q，删≤I∑p(P)iIlf，(P)一∑肛(Q)inf脚)l’’P∈P1Q∈Ql1+l∑肛(P)i

3、nf，(P)一∑p(Q)inf，(Q)loP∈P2Q∈Q2‘≤p(日)。2M+￡≤≤吾+2M+￡<2￡，所以由Q的任意性和(8)式，得Is一(P，，)一s一(彬，)l≤2￡．(49)(50)同理可证Is+(P，，)一s+(彬，)I≤2￡，(51)所以由(41)和(50)，(51)各式即得(42)式．‘推论1有界实值函数，在X上Riema皿可积当且仅当，在x上几乎处处连续．定理4设，。是定义在[o，6】上的有界实函数，且，在实分析学中的意义下memann可积，则，也在本文的意义下Riemann可积，且，'

4、b，．／，(茁)如=(R)／，咖(52)成立，这里p是R的Lebesgue测度．证明设，在实分析学的意义下Riemarul可积，则，在[o，6】上几乎处处连续，所以由推论1知，也在紧Hausdorff空间[口，6】上按本文的意义Riemann可积．这时可按证明(50)式和(51)式的方法证明(52)式成立．定义5设x是紧Hausdorfr测度空间，A是x中的非空可测子集，9：A-÷R是在A上几乎处处连续的有界实函数．定义，：x斗R如下m)={；，：置(53)"x万方数据万方数据万方数据数学报47卷[o，

5、1]，且兀是[o，1]上的通常拓扑．因为(x，丁)夔鞘冀艘鸳。璧霎鸯鱼鬟攀魏餮i鬟冀囊撼囊萋霞磊t稀薹：蔫鑫蓄侮l雾蒌嚣鹜塑薹鎏藩雾螋；』；签薹萋瓤≤；挈畦霪瓶Ⅶ羹囊薹冀萋攀漕罗?鏊萼曼萋≯嚣oj象襄薹囊塞；霉j西

6、

7、j：。粪鬻二?誊差霎j?j一—0；季霉{讳蓥囊牵霉薹薹r晕砦复鬻；堡÷羹鍪；i羹ii蓬；必ili§矍霁冀鬟霎g詈一1)(p—Q)tg—Q=o，1抓l鬲≤而习卜“(27)如[高卜坛㈣，由(27)，(28)式和(i)，我们已证(ii)为真．(iii)从

8、(27)与(28)式可见limto=0．(29)”_÷”容易算出”2)1_邮．m=兰，石驴可髻杀丽·(30)把(29)和(30)式与o

9、意妒(a)=一lnM射1(n)，所以妒(面)≤妒(。)就是不等式(1)．由此，p=1时定理1成立．其次证明当日≠1时结论为真：用o

10、A=p(p—a)／p(p—Q)]．可证不等式(2)真：取业≠=；，管=j，结合已知条件，有p=筒>1，g=告三詈>1，；+j=1．用H6lder不等式得到[∑(。∽p]砉[∑(口∽9]言≥∑(《7p。胁．(32)从a／p+卢／q=p，(1／n)去(1／佗)1／q=1／n，(32)式可改写为(去∑。譬)一(去∑口2)万≥去∑《(33)显然，(33)式等价于不等式(2)．第二步设A≥卢(9一＆)／p∽一a)】，则可证明不等式(2)如下：记A+=卢(口一a)／p(p一口)】．从第一步的结论和础1(o)冬础1(

11、口)≤础1(n)，可得[砖Ⅷ1。^[坤】(0)]A=踏1(o)[衅】(0)／砖㈨^≥础】(口)[砖1(。)／砖】(0)]k=[砖】(0)]1。k[础】(0)]h≥坤】(0)．因此，不等式(2)成立．第三步如果不等式(2)成立，可证入≥卢(p—Q)／p(p—Q)]．取不等式(2)中的口1=1，并取口％-÷o(忌=2，3⋯．，佗)的极限，则不等式(2)可归结为(去)下(去)万≥(去)虿一导+窘≤吉错入≥制．从上述步骤和A+的定义，已证(6)式成