高三数学：利用平均不等式求最大（小）值教案.doc

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1、利用平均不等式求最大（小）值课题：目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：1、重要的结论：已知x，y都是正数，则：(1)、如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值；(2)、如果和x+y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值。二、典型例题：例1、当取什么值时，函数有最小值？最小值是多少？例2、求函数（）的最小值。例3、小宁在某电脑城配置了一台总费用为6400元的电脑。假定在电脑的使用过程中，每年的维修费用约为：第一年为200元，第二年400元，第三年600元，…，按等差数列递增。这台电脑使用多少年报废最合算？分析：例4、如图，电灯挂在圆桌的正中

2、央上方。假定它与桌面上A点的水平距离是，那么电灯距离桌面的高度等于多少时，A点处最亮？（亮度公式：，这里为常数，是电灯到照射点的距离，是照射到某点的光线与水平面所成的角）分析：用心爱心专心例5、求函数的最大值，下列解法是否正确？为什么？解一：∴解二：当即时答：以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=”，即不存在使得；解二错在不是定值（常数）正确的解法是：当且仅当即时例6、若，求的最值。解：∵∴从而即。例7、设且，求的最大值用心爱心专心解：∵∴又∴即例8、已知且，求的最小值解：当且仅当即时三、小结：四、练习：1．求下列函数的最值：1°、(min=6)2°、(

3、)2．1°、时求的最小值，的最小值2°、设，求的最大值(5)3°、若,求的最大值用心爱心专心4°、若且，求的最小值3．若，求证：的最小值为34．制作一个容积为的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和高各取多少时，用料最省？（不计加工时的损耗及接缝用料）五、作业：1、将一块边长为的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？解：设剪去的小正方形的边长为则其容积为当且仅当即时取“=”即当剪去的小正方形的边长为时，铁盒的容积为2、某种汽车购买时的费用是10万元，每年的保险费、养路费及

4、汽油费合计为9千元；汽车的维修费平均为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依等差数列逐年递增。问这种汽车使用多少年报废最合算(即年平均费用最少)?解：设这种汽车使用n年报废最合算n年汽车的维修总费用为(万元)年平均费用y=当且仅当即n＝10时取等号。答：这种汽车使用10年报废最合算。3、设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ(λ>1)，画面的上、下各留8cm的空白，左、右各留5cm的空白。怎样确定画面的高与宽尺才，能使宣传画所用纸张面积最小？(2001年全国文科高考题)用心爱心专心解：设画面的宽为xcm，则画面的高为cm

5、，设纸张面积为SS=当且仅当x＝，即x=55cm，此时高答：画面高为88cm，宽为55cm时，能使所用纸张面积最小。评注：在应用均值不等式解决这类实际问题时，应注意：①设变量，一般把要求最大值和最小值的变量设为函数；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；③在定义域内，求函数的最大值或最小值；正确写出答案。用心爱心专心