对角占优矩阵奇异-非奇异的充分必要判据

对角占优矩阵奇异-非奇异的充分必要判据

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时间:2019-05-29

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1、金继东:对角占优矩阵奇异一非奇异的充分必要判据2Taussky定理及其推论文中若无特别说明,一律假定所讨论的矩阵A=【n】∈c,其中c是复数域,I.1为复数的模定义2.1(1)矩阵A=[aij]∈c,如果满足(2.1)则称是行对角占优矩阵.i行取严格不等号,则i行为严格对角占优行;i行取等号,则i行为非严格对角占优行.如果A的所有行都是严格对角占优行,则称为行严格对角占优矩阵;如果的所有行都是非严格对角占优行,则称为行弱对角占优矩阵.(2)矩阵A:[aij】∈c,如果满足≥∑0一∑=0一叼则称A是行平衡矩阵;

2、实数域上的行平衡矩阵A=[a{】∈n×”称为仿射矩阵.=对列可以作类似的l_定义.如果矩阵A:∈cn×n不仅关于行是对角占优的而且关于列也是对角占优的,则称为行他列双对角占优矩阵;如果矩阵=[oij]∈cn×n不仅关于行是平衡的而且关于列也是平衡的,则称n为行列双平衡矩阵.定义2.2矩阵A=[ai]∈Cn×n给定,简单有向图F(A):(,A)称为矩阵的伴随有向图,其中V={仇li=1,⋯,n)是F(A)结点的集合,={v,vj)∈V×Vlaij≠0)是F(A)边的集合.定义2.3矩阵的伴随有向图r(A)=(,

3、M)是强连通的,则A是不可约的;否则就是可约的.关于不可约对角占优矩阵有以下著名的Taussky定理[15】】.定理2.1(Taussky)A=[aj]∈×n是不可约对角占优矩阵.如果存在严格对角占优行,则是非奇异的.22.1可约对角占优矩阵的Frobenius标准型2是方阵,则存在置换矩阵P,使得A1100pTAP:(2.3)As+1.1As+.1分块矩阵(2.3)称为的Frobenius标准型[22-24],其中对角块App(P=l⋯.,s+k)为不可约方阵(I、(pp)是r()的强分量一极大强连通子图)

4、,称为A的Frobenius块.的Frobenius标准型(2.3)1166中国科学:数学第44卷第11期有以下特点:JApq0,Vq≠P,P≤s,r。d、IApq≠0,qs.因此,称11,⋯,。为A的独立Frobenius块,s+1,卧1,...,As+k,s+k为的非独立Frobenius块.文献f19—211给出了以下结果.推论2.1对角占优矩阵的非独立Frobenius块是非奇异的.4是奇异的当且仅当的独立Frobenius块中至少有一个是奇异的.证明假设(2.3)是矩阵的Frobenius

5、标准型,是的非独立Frobenius块.是对角占优的,因此,pp是对角占优的.App是A的非独立Frobenius块,根据(2.4),存在q

6、推论2.1将一般(可约)对角占优矩阵的奇异一非奇异性化为其所有独立Frobenius块的奇异一非奇异性.由于Frobenius块不可约,因此也就将这种问题化为不可约对角占优矩阵的奇异一非奇异性.2.2不可约对角占优矩阵由定义立得Taussky定理的以下推论.推论2.2不可约对角占优矩阵A是奇异的,则是弱对角占优的.推论2.3不可约对角占优矩阵A=【af]∈Cn×n是奇异的,则RankA=n一1.证明修改a为。扪t使J>JaiiJ.修改后的矩阵的i行是严格对角占优行.根据Taussky定理,是非奇异的.据此可得

7、A除i行以外的各行是线性无关的.因此,RankA≥n一1.A是奇异的,则有RankA=n一1.口这意味着奇异不可约对角占优矩阵A∈Cn×n的任意一行均为其他n一1行的线性组合且线性组合系数均不为零.进而有以下推论.推论2.4不可约对角占优矩阵A∈C是奇异的,P=(P1⋯.,),,y=(1⋯.,)T分别是A零特征根的左右特征向量,P和,y均不存在零元素.定义2.4P=(P1,⋯,P)和=(1⋯.,)T分别是矩阵A∈C“零特征根的左右特征向量.对角矩阵P=diag(p1⋯.,)和T=di~g(71,⋯,)分别称为

8、零特征根的左右特征矩阵.根据推论2.4,有以下结果.推论2.5奇异不可约对角占优矩阵A零特征根的左右特征矩阵P和T是非奇异的.3奇异不可约对角占优矩阵的相似性分析3.1平衡对角占优矩阵矩阵A=(aij]∈C的元素可以表示为aij=Iaijlei0~,,其中(aijI为n的模,e诏是aij的单位复数,为0的辐角.命题3.1矩阵A=[aij]∈是行对角占优的并且是行平衡的,则金继东:对角占优矩阵奇异.非

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