矩阵可对角化的充分必要条件论

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1、学号20080501050116密级兰州城市学院本科毕业论文矩阵可对角化的充分必要条件学院名称：数学学院专业名称：数学与应用数学学生姓名：练利锋指导教师：李旭东二○一二年五月BACHELOR'SDEGREETHESISOFLANZHOUCITYUNIVERSITYMatrixdiagonalizationofthenecessaryandsufficientconditionCollege:MathematicsSubject:MathematicsandAppliedMathematicsName:LianLifengDirected

2、by:LiXudongMay2012郑重说明本人呈交的学位论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的，所以数据、资料真实可靠。尽我所能，除文中已经注明应用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有的著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。本学位论文的知识产权归属于培养单位。本人签名:日期:摘要矩阵是否可以对角化，是矩阵的一条很重要的性质。对相似可对角化的充分必要条件的理解，一直是线性代数学习中的一个困难问题。本文给出了矩阵可对角化的几个充分必要条件和相应的证明。关键词：方阵；特征值

3、；特征向量；对角化ABSTRACTMatrixdiagonalizationisaveryimportantnatureofmatrix．Understandingthenecessaryandsufficientconditionsofsimilaritycanbediagonalized,hasbeenadifficultprobleminlinearalgebra．Inthispaper,severalnecessaryandsufficientconditionsandthecorrespondingproofsofmatrix

4、diagonlizationhavebeengiven．Keywords：square；eigenvalue；eigenvector；diagonalization目录第1章绪论1第2章矩阵可对角化的概念22.1特征值、特征向量的概念22.2矩阵可对角化的概念2第3章矩阵可对角化的充分必要条件43.1矩阵可对角化的充分必要条件及其证明43.2可对角化矩阵的相似对角阵的求法及步骤8第4章矩阵可对角化的应用9第5章结论11参考文献12致谢13第1章绪论矩阵是高等代数中的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。而对角矩阵作为矩阵中比较特殊

5、的一类，其形式简单，研究起来也非常方便。研究矩阵的对角化及其理论意义也很明显，矩阵相似是一种等价关系，对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式，这对理论分析是方便的。相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式、特征根、行列式……如果只关心这类性质，那么相似的矩阵可以看作是没有区别的，这时研究一个一般的可对角化矩阵，只要研究它的标准形式——一个对角形矩阵就可以了。而对角矩阵是最简单的一类矩阵，研究起来非常方便。线性代数中矩阵是否可以对角化,是矩阵的一条很重要的性质。矩阵对角化也是《高等代数》和《线性代数》中矩阵理论这一

6、部分的主要内容。人们对此研究得出了很多有用的结论。诸如一些充要条件：阶方阵可以对角化的充要条件是它有个线性无关的特征向量；方阵可以对角化的充要条件是它的最小多项式没有重根；还有复方阵可以酉相似于对角形矩阵的充要条件是它为正规矩阵，此外,还有一些充分条件。然而,所有这些结论都相对比较抽象,特别是对于大学一年级的新生，抽象化的结论不便于学生的理解和记忆，因此,一些学生在学完《高等数学》和《线性代数》的相关知识后不久,便相继忘掉了一些重要的结论。但是,一个普遍的现象是这些学生对高中、初中的数学知识比较熟悉,且记忆深刻，因此,若能将一些大学数学

7、知识和高中、初中的一些知识进行类比,则这些新的数学知识与理论便会易于理解和记忆。在本课题中通过阅读参考文献、查阅相关资料，初步总结出了矩阵可对角化的若干充分必要条件，并给予了相应的证明过程。12第2章矩阵可对角化的概念2.1特征值、特征向量的概念定义1设是数域上线性空间的一个线性变换,如果对于数域中的一个数存在一个非零向量使得,那么称为的一个特征值，而称为的属于特征值的一个特征向量。求方阵的特征值与特征向量的步骤：(1)由特征方程=0求得的个特征值，设是的互异特征值,其重数分别为则。(2)求解齐次线性方程组,其基础解系()就是所对应特征

8、值的线性无关的特征向量。2.2矩阵可对角化的概念定义2设是矩阵上一个阶方阵，如果存在数域上的一个可逆矩阵,使得为对角形矩阵，那么就说矩阵可以对角化。任意方阵的每一个特征值都有一个与之相对应的特征向量满足，则