有限元的弱形式

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1、.PDE弱形式介绍GJ：看到一个介绍COMSOL解决物理问题弱形式的文档，感觉很牛啊，通过COMSOLMultiphysics的弱形式用户界面来求解更多更复杂的问题，这绝对是物理研究的利器啊！而且貌似COMSOL是唯一可以直接使用弱形式来求解问题的软件。为什么要理解PDE方程的弱形式？一般情况下，PDE方程都已经内置在COMSOLMultiphysics的各个模块当中，这种情况下，没有必要去了解PDE方程和及其相关的弱形式。有时候可能问题是没有办法用COMSOLMultiphysics内置模块来求解的，这个时候可以使用经典PDE模版。但是，有时候可能经典PDE模版也不包括要求解的问题，这个时候

2、就只能使用弱形式了（虽然这种情况是极少数的）。另一个原因就是弱形式有时候描述问题比PDE方程紧凑的多。还有，如果你是一个教授去教有限元分析方法，可以帮助学生们直接利用弱形式来更深入的了解有限元。最后，你对有限元方法了解的越多，对于COMSOL中的一些求解器的高级设置就懂得更多。一个重要的事实是：在所有的应用模式和PDE模式求解的时候，COMSOLMultiphysics都是先将方程式系统转为了弱形式，然后进行求解。物理问题的三种描述方式1.偏微分方程2.能量最小化形式3.弱形式PDE问题常常具有最小能量问题的等效形式，这让人有一种直觉，那就是PDE方程都可以有相应的弱形式。实际上这些PDE方程

3、和能量最小值问题只是同一个物理方程的两种不同表达形式罢了，同样，弱形式（几乎）是同一个物理方程的第三个等效形式。我们必须记住，这三种形式只是求解同一个问题的三种不同形式――用数学方法求解真实世界的物理现象。根据不同的需求，这三种方式又有各自不同的优点。三种不同形式的求解PDE形式在各种书籍中比较常见，而且一般都提供了PDE方程的解法。能量法一般见于结构分析的文献中，采用弹性势能最小化形式求解问题是相当自然的一件事。当我们的研究范围超出了标准有限元应用领域，比如传热和结构，这个时候弱形式是不可避免的。化工中的传质问题和流体中的N-S方程都是没有办法用最小能量原理表述出来的。..弱形式的特点PDE

4、方程是带有偏微分算子的方程，而能量方程是以积分形式表达的。积分形式的好处就是特别适合于有限元方法，而且不用担心积分变量的不连续，这在偏微分方程中比较普遍。弱形式也是积分形式，拥有和积分形式同样的优点，但是他对积分变量的连续性要求更低，可以看作是能量最小化形式的更一般形式。最重要的是，弱形式非常适合求解非线性的多物理场问题，这就是COMSOLMultiphysics的重点了。PDE到泛函变分GJ：PDE方程一般很难求出解析解，通常需要根据变分原理（数学定律）或最小能量原理（物理定律）转化为泛函变分问题，即得到积分形式，从而便于使用有限元法划分区域离散化，得到刚度矩阵，而最终求解得到PDE的近似数

5、值解。这基本上就是一般的工程中的有限元分析，如平面弹性力学问题、温度场分析及动力学问题等。平面弹性力学问题是通过最小势能原理或虚功原理（两者是同一问题的不同表述形式）建立积分泛函的，温度场可以通过能量法建立泛函，也可以通过变分原理裸建泛函。下面说一说常见的PDE问题根据最小能量原理建立泛函变分。弹性静力学PDE及其弹性能量方程在静力结构分析问题中，我们需要求解的是Navier方程其中σ是应力张量，F是体力，比如重力等。计算区域记为，其边界记为。应力张量和应变张量之间的关系称为本构关系，线弹性本构一般遵循胡克HOOK定律其中是弹性张量，这个关系式说明材料的行为实际上和弹簧差不多（前提是线弹性）。

6、最后，我们可以将应变矢量和位移的关系表述出来这里u指的是位移矢量u=(u,v,w)，其定义就是变形体上的材料点和未变形时候的位移差。总结以上所有的方程，我们得到了一个二阶PDE方程（Navier方程），需要一个边界条件来求解，其中n是表面的法矢，P是边界上的面力或牵引力。可以顺便提一下，这个PDE方程的弱形式为，..其中v=称为试函数。注意，尽管Navier方程是一个矢量表达式，但是上面的表达式是一个标量形式。弹性势能在结构分析中，PDE方程及其弱形式的表达式都不太常见，相反，能量最小化形式因为其直观的表达形式用的较多。这类问题的能量积分形式对应于总势能的最小化，即对象中存储的弹性能。总弹性能

7、是一个标量，可以写成：弹性能表达式同样适用于非线性问题。在这些表达式中，我们假设体力F为零，并忽略了边界效应。这些影响可以在以后引入。积分的意义是每个体积微元的内能总和，其中应力张量单位是Pa，微元体上的应变dε没有单位，dV单位是体积，因此积分出来的单位应该是N·m。如果问题是线弹性的，则可以显式的写为：联立上面的式子得到：我们用代替来配合COMSOLMultiphysics手册中的标记方式。弹