弹性力学平面问题

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1、第5章弹性力学平面问题平面问题和应力函数一、平面应力问题和平面应变问题平面应力问题：平面应变问题：z＝xz＝zy＝0x,y,xy(x,y)构件特征：受力特点：应力分量：应变分量：位移分量：xyzxyz平行于板面，板面上无载荷载荷与z轴垂直沿z轴不变yx＝zx＝0x,y,xy(x,y);zz＝yx＝zx＝0x,y,xy(x,y)u(x,y),v(x,y);wu(x,y),v(x,y);w=0x,y,xy(x,y)xz＝zy＝0,z＝m(x+y)一.平面应力问题yxyZt/2简化为图

2、示等厚度板受载情况--平行于板面且沿板厚均匀分布前后板面没有载荷；此种情况即属平面应力问题。5.1、5.2平面应力与平面应变问题2.平面应力问题的特征1.引例：墙壁、座舱隔板等薄板如图：厚度为t,以薄板的中面为xy面,以垂直于中面的任一直线为z轴,建立坐标系如图所示。因板面上（z=t/2）不受力，所以有：根据剪应力互等定理可知xyzyt/2t/2所以,在薄板中只剩下平行于x、y面的三个应力分量，即：此即为平面应力问题的特征。用单元体可表示如图二.平面应变问题简化为等长度很长的截面柱体,载荷垂直于长度方向，且沿长度方向不变—作为无

3、限长柱体看待。3.平面应力问题的定义对于仅有平行于xy面的三个应力分量的均质薄板类问题，就称为平面应力问题。1.引例:水坝、隧洞等平面应变问题zoyxxyz482.平面应变问题的特征(1)位移分量对于无限长柱体，由于任一横截面都可看成对称截面，而对称截面上的各点是不能产生沿Z向的位移的，因此,对任一截面都应有：(2)应变分量(3)应力分量对于平面应变问体,真正独立的应力分量只有三个。3.平面应变问题的定义对于无限长柱体，所有的应变与位移都发生xoy面内，就称为平面应力问题。这类问题称为平面应变问题平面应变平面应力平面应力问题的基本

4、假设：平面应变问题的基本假设：平面问题和应力函数一、平面应力问题和平面应变问题平面应力问题：平面应变问题：z＝xz＝zy＝0x,y,xy(x,y)构件特征：受力特点：应力分量：应变分量：位移分量：xyzxyz平行于板面，板面上无载荷载荷与z轴垂直沿z轴不变yx＝zx＝0x,y,xy(x,y);zz＝yx＝zx＝0x,y,xy(x,y)u(x,y),v(x,y);wu(x,y),v(x,y);w=0x,y,xy(x,y)xz＝zy＝0,z＝m(x+y)弹性力学问题的基本方程空间问题

5、的基本方程平衡微分方程几何方程物理方程（广义虎克定律）应变协调方程（相容方程）：平衡方程二、平面问题的基本方程几何方程：物理方程平面应变问题：协调方程（相容方程）平面应变问题的物理方程：式中：同理：于是平面应变问题的物理方程为：比较平面应力问题的物理方程：对于平面应力问题，由P45的（e）式：得：或：对于平面应变问题，令上式中的即得：如果体积力为零或常量，则(5-6)、(5-8)可统一写为5.3平面问题的应力函数：若不计体积力，有要从上面的3个方程解出3个应力（当然还需要加上相应的边界条件）。假设则两个平衡方程恒满足。这时变形协调

6、方程为（a）（b）式中U=U(x,y)称为Airy应力函数。于是从(b)式求出应力函数U，代人(a)式即可求得3个应力。(b)为双调和方程。1.逆解法：就是先设定满足相容方程的应力函数φ一.逆解法和半逆解法、多项式解答求出应力分量，再根据应力边界条件来考察，在各种形状的弹性体上这些应力分量对应的面力，从而知道所设的应力函数可以解决什么问题。然后根据5.4应力函数法解直角坐标系下的平面问题2.半逆解法半逆解法针对求解的问题根据弹性体的边界条件形状和受力情况，假定部分或全部应力分量为某种函数，将原来的偏微分方程化为常微分方程，推出应力

7、函数的全部表达式，试解该方程，如果各方面的条件都能满足，就得到了正确的解答，否则，就要另作假设，重新考虑。逆解法的用途十分有限，半逆解法是弹性力学基本方程的主要方法，其中的关键是如何根据问题的特点确定应力函数的形式，如对称性，量纲等，对于梁类问题可根据材料力学的知识确定。22U=0为四阶偏微分方程，直接求解比较困难，故常用逆解法和半逆解法。逆解法：设定j(x,y)满足4=0半逆解法：面力解决的问题解决的问题边界形状受力情况j(x,y)4=0边界条件正确解答设定边界条件（不计体力）不论弹性体何种形状，不论坐标轴如何选择，线

8、性应力函数对应于无面力、无应力的状态。在应力函数中加上或减去一个线性函数并不影响应力。满足22U=0xy矩形板在y方向受均匀拉伸（压缩）。满足22U=0边界条件：左右边界：上下边界：2a2axy矩形板在x方向受均匀拉伸（压缩）。满足22