高中数学必修4平面向量典型例题与提高题

高中数学必修4平面向量典型例题与提高题

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1、-平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB或a。2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:

2、AB

3、或

4、a

5、。3.单位向量:长度为1的向量。若e是单位向量,则

6、e

7、1。4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。6.相等向量:长度和方向都相同的向量。7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。ABBA。8.三角形法则:ABBCAC;ABBCCDDEAE;ABACCB(指向被减数)9.平行四边形法则:以a

8、,b为临边的平行四边形的两条对角线分别为ab,ab。10.共线定理:aba//b。当0时,a与b同向;当0时,a与b反向。11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。12.向量的模:若a(x,y),则

9、a

10、x2y22

11、a

12、2,

13、ab

14、(ab)2,a13.数量积与夹角公式:ab

15、a

16、

17、b

18、cos;cosab

19、a

20、

21、b

22、14.平行与垂直:a//babx1y2x2y1;abab0x1x2y1y20题型1.基本概念判断正误:(1)若a与b共线,b与c共线,则a与c共线。(2)若mamb,则ab。(3)若mana,则mn。(4)若a与b不

23、共线,则a与b都不是零向量。(5)若ab

24、a

25、

26、b

27、,则a//b。(6)若

28、ab

29、

30、ab

31、,则ab。题型2.向量的加减运算----1----4.已知AC为AB与AD的和向量,且ACa,BDb,则AB,AD。5.已知点C在线段AB上,且AC3AB,则ACBC,ABBC。5题型3.向量的数乘运算2.1b。已知a(1,4),b(3,8),则3a2题型4根据图形由已知向量求未知向量1.已知在ABC中,D是BC的中点,请用向量AB,AC表示AD。2.在平行四边形ABCD中,已知ACa,BDb,求AB和AD。题型5.向量的坐标运算6.已知AB

32、(2,3),BC(m,n),CD(1,4),则DA。7.已知O是坐标原点,A(2,1),B(4,8),且AB3BC0,求OC的坐标。题型6.判断两个向量能否作为一组基底1.已知e1,e2是平面内的一组基底,判断下列每组向量是否能构成一组基底:A.e1e2和e1e2B.3e12e2和4e26e1C.e13e2和e23e1D.e2和e2e1题型7.结合三角函数求向量坐标1.已知O是坐标原点,点A在第二象限,

33、OA

34、2,xOA150,求OA的坐标。题型8.求数量积1.已知

35、a

36、3,

37、b

38、4,且a与b的夹角为60,求(1)ab,(2)a(

39、ab),(3)(a1b)b,(4)(2ab)(a3b)。2题型9.求向量的夹角----2----3.已知A(1,0),B(0,1),C(2,5),求cosBAC。题型10.求向量的模1.已知向量与的夹角为θ,定义×为与的“向量积”,且×是一个向量,它的长度

40、×

41、=

42、

43、

44、

45、sinθ,若=(2,0),﹣=(1,﹣),则

46、×(+)

47、=()A.4B.C.6D.21.已知

48、a

49、3,

50、b

51、4,且a与b的夹角为60,求(1)

52、ab

53、,(2)

54、2a3b

55、。3.已知

56、a

57、1,

58、b

59、2,

60、3a2b

61、3,求

62、3ab

63、。题型11.求单位向量【与a平行的单

64、位向量:ea】

65、a

66、1.与a(12,5)平行的单位向量是2.与m(1,1)平行的单位向量是。2题型12.向量的平行与垂直1.已知a(1,2),b(3,2),(1)k为何值时,向量kab与a3b垂直?(2)k为何值时向量kab与a3b平行?2.已知a是非零向量,abac,且bc,求证:a(bc)。3.若向量=(2cosα,﹣1),=(,tanα),且∥,则sinα=()A.B.C.D.----3----题型13.三点共线问题3.已知ABa2b,BC5a6b,CD7a2b,则一定共线的三点是。4.已知A(1,3),B(8,1),若点C

67、(2a1,a2)在直线AB上,求a的值。5.已知四个点的坐标O(0,0),A(3,4),B(1,2),C(1,1),是否存在常数t,使OAtOBOC成立?题型14.判断多边形的形状1.已知P为三角形ABC内部任一点(不包括边界),且满足(﹣)?(+﹣2)=0,则△ABC的形状一定为()A.等边三角形B.直角三角形C.钝三角形D.等腰三角形2.在平面直角坐标系内,OA(1,8),OB(4,1),OC(1,3),求证:ABC是等腰直角三角形。题型15.平面向量的综合应用1.已知a(m,3),b(2,1),(1)若a与b的夹角为钝角,求

68、m的范围;(2)若a与b的夹角为锐角,求m的范围。2.已知ABC三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,0),(1)若ABAC0,求c的值;(2)若c5,求sinA的值。----4----提高题1.设向量=,=不共线,且

69、+

70、=1,

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