导数、定积分69067

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1、导数、定积分1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f’（x）或y’

2、。即f（x）==。说明：（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤（可由学生来归纳）：（

3、1）求函数的增量=f（x+）－f（x）；（2）求平均变化率=；（3）取极限，得导数f’(x)=。2．导数的几何意义函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））　　处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）。相应地，切线方程为y－y=f/（x）（x－x）。3．常见函数的导出公式．　（１）（C为常数）　　　　（２）　（３）　　　　　　　（４）4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：(法则2：两个函数的积的导

4、数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：‘=（v0）。形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇

5、=y＇

6、·u＇

7、5．导数的应用（1）一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数；（2）曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右

8、侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；（3）一般地，在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。①求函数ƒ在(a，b)内的极值；②求函数ƒ在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；③将函数ƒ的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值6．定积分（1）概念设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0

9、x→0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作：，即＝(ξi)△x。这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式基本的积分公式：＝C；＝＋C（m∈Q，m≠－1）；dx＝ln＋C；＝＋C；＝＋C；＝sinx＋C；＝－cosx＋C（表中C均为常数）（2）定积分的性质①（k为常数）；②；③（其中a＜c＜b。（3）定积分求曲边梯形面积由三条直线x＝a，x＝b（a

10、＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨设f1(x)≥f2(x)≥0），及直线x＝a，x＝b（a

11、，越小，越接近于一个定值，由极限定义可知，这个值就是时，的极限，V===（6+=3g=29.4(米/秒)。例2．求函数y=的导数。解析：，，=-。点评：掌握切的斜率、瞬时速度，它门都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定基础。题型2：导数的基本运算例3．（1）求的导数；（2）求的导数；（3）求的导数；（4）求y=的导数；（5）求y＝的导数解析：（1）,（2）先化简,（3）先使用三角公式进行化简.（4）y’==；（5）y＝－x＋５－y’＝３*（x）＇－x＇＋５＇－９）＇＝３*－１＋０－９*（－）＝。点评：（1）求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数

12、进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；（2）有的函数虽然表面形式为函