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1、数学月刊元月号明知白高考创新题型的几种构式数学考试大纲提出：“创新意识和创造能力是理性思维的高层次表现。”命题时要设计“研究型、探索型或开放型的题目，让考生独立思考，自我探索，发挥主观能动性”。新题型即创新题型。新相对旧而言，即在教材上无例习题，教参上无套路题，往年的考卷无模拟题的一类新型考题。这种题目每年由高考命题组原创设计，按15%左右的比例推出。由于这种题型有较好的信度和效度，从而有较好的区分度，因此倍受人们关注。就近年高考题型的走势来看，高考新题型的结构形式大约有以下的8种。一、情境新颖型试题情境即通过试题为考生营造情感环境。在没有进入深层次的理性思
2、考之前，考生就能感到题目的“不俗”。新的立意，新的背景，新的表述，新的设问都能创设试题的新颖情境。【例1】计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：十六进制0123456789ABCDEF十进制0123456789101112131415例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B=A.6EB.72C.5FD.B0【点示】情境新颖有三：（1）数符新颖，除熟悉的0，1，…，9这10个数字之外，还有新数字A、B、C、D、E、F.（2）数制新颖，16进制.（3）数意新颖，16进制中
3、的数11，如果说个位数上的1与10进制中的1“数意”相同的话，那么十位数上的1则是另外一种“数意”了；自然，F1这个数在10进制中已经不是两位数了.【解答】我们用符号［x］(10)，［y］(16)分别表示10进制和16进制中的数.依题意，有［16］(10)=［10］(16)则有A×B=［10×11］(10)=［110］(10)=［6×16+14］(10)=［6×10+E］(16)=6E.答案为A.二、研究学习型研究性学习，是教学上倡导的一种自主学习。教材上安排提供有一些材料，只是作为一种思考和研究问题的要求和引导。虽然研究的目的是明确的，但研究内容却是发散的
4、。高考命题时，可按研究学习的目的和要求，并考虑考生可能达到的研究能力，设计一些有关新内容的研究学习型新题。【例2】相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有7（A）1个 （B）2个（C）3个 （D）无穷多个【点示】研究有三：（1）正方体内接几何体的空间模型；（2）截面图形；（3）新课标要求的三视图.【解答】法一：本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形，显然有无穷多个.法二：通过计算，显然两个正四棱锥的高均为，考查放
5、入正方体后，面ABCD所在的截面，显然其面积是不固定的，取值范围是，所以该几何体的体积取值范围是答案为D.三、开放探究型“开放”相对于“封闭”而言。传统数学题目多属封闭型。如一种明确的条件，一种确定的结论，甚至连解答过程和方法都是确定的。开放题与此相异。有的有明确的条件而无明确的结论，甚至连结果存在与否还不知道，有的有明确结论而无明确的条件，甚至连条件是否存在还不知道。【例3】在数列中，若a1，a2是正整数，且,3，4，5，…，则称为“绝对差数列”.（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（Ⅱ）若“绝对差数列”中，,，数列满足,n=1
6、，2，3，…，分别判断当时,与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.【点示】开放有三：（1）答案不惟一，a1、a2可“任意”设置；（2）极限是否存在，不知道；（3）“任何”、“总会”、“无穷个0”都是开放词.【解答】（Ⅰ）解：,（答案不惟一）（Ⅱ）解：因为在绝对差数列中,.所以自第20项开始，该数列是,,即自第20项开始.每三个相邻的项周期地取值3，0，3.所以当时，7的极限不存在.当时,,所以（Ⅲ）证明：根据定义，数列必在有限项后出现零项.证明如下假设中没有零项，由于,所以对于任意的n，都有,从而当
7、时,;当时,即的值要么比至少小1，要么比至少小1.令则由于是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项，这与()矛盾.从而必有零项.若第一次出现的零项为第n项，记，则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0，,,即所以绝对差数列中有无穷多个为零的项.四、深刻背景型深刻背景通俗地可说成是试题的“非凡来历”或“非凡来源”。这种“非凡”大约是指：（1）高等数学的背景；（2）经典数学的引申或广化；（3）实用数学的某一热点应用；（4）新课标、新内容的提前现身。【例4】（2006年全国卷I）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，
8、但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为A．cm
