资源描述：
《23函数的极值》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、1．极值与最值的关系:设函数在闭区间上连续,则函数的最大值和最小值一定存在.函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得,如果最大值不在区间的端点取得,则必在开区间内取得,在这种情况下,最大值一定是函数的极大值.因此,函数在闭区间上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者.同理,函数在闭区间[a,b]上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者.2．最大值和最小值的求法:设在内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为,则比较的大小,其中最大的便是函数在上的最大值,最小的便是函数在上的最小值.求最大值和最小值的步骤(1).求驻点和不可导点;(2
2、).求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)例6求函数在上的最大值和最小值解由于因此函数在上的最大值为最小值为例7求函数在上的最大值与最小值.解由于,所以求得在(-3,4)内的驻点为，不可导点为而，,经比较在处取得最大值20,在处取得最小值0.3.最大值、最小值的应用实际问题求最值步骤:(1)建立目标函数;(2)求最值.例8工厂铁路线上AB段的距离为100km.工厂C距A处为20km,AC垂直于AB.为了运输需要,要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路.已知铁路每
3、公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比3:5.为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省,问D点应选在何处？解设,则,.再设从B点到C点需要的总运费为y,那么(是某个正数)即.于是问题归结为:在内取何值时目标函数的值最小.先求对的导数:.解方程得.由于,,,其中以为最小,因此当时总运费最省.注意:在一个区间(有限或无限,开或闭)内可导且只有一个驻点,且该驻点是函数的极值点,那么当是极大值时,就是该区间上的最大值;当是极小值时,就是在该区间上的最小值.f(x0)Oax0bxy=f(x)yf(x0)Oax0bxy=f(x)y说明：实际问题中往往根据问题的性质可以断定函数确有最大值或最
4、小值,和一定在定义区间内部取得.这时如果在定义区间内部只有一个驻点,那么不必讨论是否是极值就可断定是最大值或最小值.dhb例9把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁.问矩形截面的高和宽应如何选择才能使梁的抗弯截面模量W()最大?解与有下面的关系:因而于是问题转化为:当等于多少时目标函数W取最大值？为此,求W对b的导数.解方程得驻点.由于梁的最大抗弯截面模量一定存在,且在内部取得;又函数在内只有一个驻点,所以当时,W的值最大.此时,,即..例10某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月
5、需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？解设房租为每月元，租出去的房子有套每月总收入为，（唯一驻点）故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为例11由直线及抛物线围成一个曲边三角形,在曲边上求一点,使曲线在该点处的切线与直线所围成的三角形面积最大解设所求切点为切线为PT由于所以令解得(舍去)又因为,所以为极大值故为所有三角形中面积的最大者三、小结极值是函数的局部性概念，因此函数的极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点处取得.极值的判别法要注意使用条件注意最值与极值的区别.
