2020高考数学第六章立体几何考点测试41空间几何体的表面积和体积文（含解析）

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1、考点测试41　空间几何体的表面积和体积高考概览考纲研读一、基础小题1．若球的半径扩大为原来的2倍，则它的体积扩大为原来的(　　)A．2倍B．4倍C．8倍D．16倍答案　C解析　设原来球的半径为r，则现在球的半径为2r，则V原＝πr3，V现＝π·(2r)3，故V现＝8V原．故选C．2．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是(　　)A．8πB．6πC．4πD．π答案　C解析　设正方体的棱长为a，则a3＝8，∴a＝2．而此正方体的内切球直径为2，∴S表＝4πr2＝4π．3．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积

2、为(　　)A．2B．4C．8D．4答案　D解析　由三视图知，原几何体为两个四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面边长为1，斜高为1，所以这个几何体的表面积为S＝×1×1×8＝4．4．一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则此三棱柱的体积为(　　)A．B．C．2D．4答案　B解析　由侧视图可知直三棱柱底面正三角形的高为，容易求得正三角形的边长为2，所以底面正三角形面积为×2×＝．再由侧视图可知直三棱柱的高为1，所以此三棱柱的体积为×1＝．故选B．5．已知圆锥的表面积为a，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是(　　)A．B．C．D．答案　C解析　设圆锥的底面半径为r，母线

3、长为l，由题意知，2πr＝πl，∴l＝2r，则圆锥的表面积S表＝πr2＋π(2r)2＝a，∴r2＝，∴2r＝．6．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于(　　)A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm3答案　B解析　由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱ABC－A1B1C1截去一个三棱锥B1－ABC，则该几何体的体积为V＝×3×4×5－××3×4×5＝20(cm3)．故选B．7．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是(　　)A．4B．C．D．6答案　B解析　依题意，所求几何体是一个四棱台，其中上底面是边长为1的正方形、下底面是边长为2的正方形，高是

4、2，因此其体积等于×(12＋22＋)×2＝．故选B．8．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的表面积为(　　)A．24＋(－1)πB．24＋(2－2)πC．24＋(－1)πD．24＋(2－2)π答案　B解析　如图，由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体挖出两个圆锥体所得．由图中知圆锥的半径为1，母线为，该几何体的表面积为S＝6×22－2π×12＋2××2π×1×＝24＋(2－2)π，故选B．9．已知一个几何体的三视图如图所示，则其体积为(　　)A．10＋πB．2＋C．2＋D．2＋答案　D解析　根据几何体的三视图还原其直观图如图所示，显然可以看到该几何体是一个底

5、面长为2，宽为1，高为1的正棱柱与一个底面半径为1，高为1的圆柱组合而成，其体积为V＝2×1×1＋×π×12×1＝2＋，故选D．10．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)答案　3解析　由题意知，圆台中截面圆的半径为十寸，圆台内水的体积为V＝πh(r＋r＋r中r下)＝×9×(102＋62＋10×6)＝588π(立方寸)，降雨量为＝＝3(寸)．11．如图所示，已知一个多

6、面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．答案　解析　易知该几何体是正四棱锥．连接BD，设正四棱锥P－ABCD，由PD＝PB＝1，BD＝，则PD⊥PB．设底面中心O，则四棱锥高PO＝，则其体积是V＝Sh＝×12×＝．12．如图，在平面四边形ABCD中，已知AB⊥AD，AB＝AD＝1，BC＝CD＝5，以直线AB为轴，将四边形ABCD旋转一周，则所得旋转体的体积为________．答案　12π解析　由题意，该旋转体是一圆台内部挖去一个圆锥，如图1所示：如图2，过点C作CE⊥AB，连接BD．在等腰直角三角形ABD中，BD＝＝．在△BD

7、C中，CD2＝BD2＋BC2－2BD·BCcos∠DBC，所以25＝2＋25－10cos∠DBC，所以cos∠DBC＝，所以sin∠DBC＝＝．因为∠CBE＝180°－∠ABD－∠DBC＝135°－∠DBC，所以sin∠CBE＝sin(135°－∠DBC)＝cos∠DBC＋sin∠DBC＝．在Rt△BCE中，CE＝BCsin∠CBE＝4，所以BE＝＝3，AE＝4．所以圆台上、下底面圆的面积分别为S上＝π，S下＝16π，圆