2020高考数学刷题首选卷 第六章 立体几何 考点测试43 空间几何体的表面积和体积 理(含解析)

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1、考点测试43 空间几何体的表面积和体积高考概览考纲研读球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式一、基础小题1.若球的半径扩大为原来的2倍,则它的体积扩大为原来的(  )A.2倍B.4倍C.8倍D.16倍答案 C解析 设原来球的半径为r,则现在球的半径为2r,则V原=πr3,V现=π·(2r)3,故V现=8V原.故选C.2.一个正方体的体积是8,则这个正方体的内切球的表面积是(  )A.8πB.6πC.4πD.π答案 C解析 设正方体的棱长为a,则a3=8,∴a=2.而此正方体的内切球直径为2,∴S表=4πr2=4π.3.如图,一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积

2、为,一个内角为60°的菱形,俯视图为正方形,那么这个几何体的表面积为(  )A.2B.4C.8D.4答案 D解析 由三视图知,原几何体为两个四棱锥的组合体,其中四棱锥的底面边长为1,斜高为1,所以这个几何体的表面积为S=×1×1×8=4.4.一个直三棱柱的三视图如图所示,其中俯视图是正三角形,则此三棱柱的体积为(  )A.B.C.2D.4答案 B解析 由侧视图可知直三棱柱底面正三角形的高为,容易求得正三角形的边长为2,所以底面正三角形面积为×2×=.再由侧视图可知直三棱柱的高为1,所以此三棱柱的体积为×1=.故选B.5.已知圆锥的表面积为a,且它的侧面展开图是一个半圆

3、,则这个圆锥的底面直径是(  )A.B.C.D.答案 C解析 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,由题意知,2πr=πl,∴l=2r,则圆锥的表面积S表=πr2+π(2r)2=a,∴r2=,∴2r=.6.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积等于(  )A.10cm3B.20cm3C.30cm3D.40cm3答案 B解析 由三视图可知,该几何体是一个直三棱柱ABC-A1B1C1截去一个三棱锥B1-ABC,则该几何体的体积为V=×3×4×5-××3×4×5=20(cm3).故选B.7.某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是(  )A.4B.C.D

4、.6答案 B解析 依题意,所求几何体是一个四棱台,其中上底面是边长为1的正方形、下底面是边长为2的正方形,高是2,因此其体积等于×(12+22+)×2=.故选B.8.某几何体的三视图如图所示,图中三个正方形的边长均为2,则该几何体的表面积为(  )A.24+(-1)πB.24+(2-2)πC.24+(-1)πD.24+(2-2)π答案 B解析 如图,由三视图可知,该几何体是棱长为2的正方体挖出两个圆锥体所得.由图中知圆锥的半径为1,母线为,该几何体的表面积为S=6×22-2π×12+2××2π×1×=24+(2-2)π,故选B.9.已知一个几何体的三视图如图所示,则其

5、体积为(  )A.10+πB.2+C.2+D.2+答案 D解析 根据几何体的三视图还原其直观图如图所示,显然可以看到该几何体是一个底面长为2,宽为1,高为1的正棱柱与一个底面半径为1,高为1的圆柱组合而成,其体积为V=2×1×1+×π×12×1=2+,故选D.10.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水,天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸,若盆中积水深九寸,则平地降雨量是________寸.(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸.)答案 3解析 由题意知,圆台中截面圆的半径

6、为十寸,圆台内水的体积为V=πh(r+r+r中r下)=×9×(102+62+10×6)=588π(立方寸),降雨量为==3(寸).11.如图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成,则该多面体的体积是________.答案 解析 易知该几何体是正四棱锥.连接BD,设正四棱锥P-ABCD,由PD=PB=1,BD=,则PD⊥PB.设底面中心O,则四棱锥高PO=,则其体积是V=Sh=×12×=.12.如图,在平面四边形ABCD中,已知AB⊥AD,AB=AD=1,BC=CD=5,以直线AB为轴,将四边形ABCD旋转一周,则所得旋转体的

7、体积为________.答案 12π解析 由题意,该旋转体是一圆台内部挖去一个圆锥,如图1所示:如图2,过点C作CE⊥AB,连接BD.在等腰直角三角形ABD中,BD==.在△BDC中,CD2=BD2+BC2-2BD·BCcos∠DBC,所以25=2+25-10cos∠DBC,所以cos∠DBC=,所以sin∠DBC==.因为∠CBE=180°-∠ABD-∠DBC=135°-∠DBC,所以sin∠CBE=sin(135°-∠DBC)=cos∠DBC+sin∠DBC=.在Rt△BCE中,CE=BCsin∠CBE=4,所以BE==3,AE=4.所以圆台上、

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