2019届高考数学复习立体几何与空间向量第8讲立体几何中的向量方法二求空间角练习理北师大版

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1、第8讲　立体几何中的向量方法(二)——求空间角一、选择题1.(2016·长沙模拟)在正方体A1B1C1D1－ABCD中，AC与B1D所成的角的大小为(　　)A.B.C.D.解析　建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为1，则A(0，0，0)，C(1，1，0)，B1(1，0，1)，D(0，1，0).∴＝(1，1，0)，＝(－1，1，－1)，∵·＝1×(－1)＋1×1＋0×(－1)＝0，∴⊥，∴AC与B1D所成的角为.答案　D2.(2017·郑州调研)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为(　　)A.B.C.D.解析　设正方体的棱

2、长为1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则B(1，1，0)，B1(1，1，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，所以＝(0，0，1)，＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1).令平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝－x＋y＝0，n·＝－x＋z＝0，令x＝1，可得n＝(1，1，1)，所以sinθ＝

3、cos〈n，〉

4、＝＝.答案　B3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(　　)A.B.C.D.解析　

5、以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，∴＝(0，1，－1)，＝，设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，所以有即解得∴n1＝(1，2，2).∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，∴cos〈n1，n2〉＝＝.即所成的锐二面角的余弦值为.答案　B4.(2017·西安调研)已知六面体ABC－A1B1C1是各棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则直线CC1与平面AB1D所成的角为(　　)A.45°B.60°C.90°D.30°解析　如图所示，取AC的中点N，以N为坐标原点，建

6、立空间直角坐标系.则A，C，B1，D，C1，∴＝，＝，＝(0，0，a).设平面AB1D的法向量为n＝(x，y，z)，由n·＝0，n·＝0，可取n＝(，1，－2).∴cos〈，n〉＝＝＝－，∴直线CC1与平面AB1D所成的角为45°.答案　A5.设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是(　　)A.B.C.D.解析　如图建立坐标系.则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)，＝(2，0，0)，＝(2，2，0)，设平面A1BD的一个法向量n＝(x，y，z)，则∴令z＝1，得n＝(－1，1，1).∴D1到平面A1BD的距离

7、d＝＝＝.答案　D二、填空题6.(2017·新余月考)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是__________.解析　以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系.设AB＝BC＝AA1＝2，则C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，则＝(0，－1，1)，＝(2，0，2)，∴·＝2，∴cos〈，〉＝＝，∴EF和BC1所成的角为60°.答案　60°7.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与

8、平面BDC1所成角的正弦值等于__________.解析　以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图.设AA1＝2AB＝2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，2)，则＝(0，1，0)，＝(1，1，0)，＝(0，1，2).设平面BDC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，所以有令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2，1).设CD与平面BDC1所成的角为θ，则sinθ＝

9、cos〈n，〉

10、＝＝.答案　8.已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则

11、平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________.解析　延长FE，CB相交于点G，连接AG，如图所示.设正方体的棱长为3，则GB＝BC＝3，作BH⊥AG于点H，连接EH，则∠EHB为所求二面角的平面角.∵BH＝，EB＝1，∴tan∠EHB＝＝.答案　三、解答题9.(2015·全国Ⅰ卷)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证明：平面AEC⊥平面AFC，(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.(1)证明　如图，连接BD，设BD∩AC＝