2019版高考数学复习数列第3讲等比数列及其前n项和学案

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1、第3讲　等比数列及其前n项和板块一　知识梳理·自主学习[必备知识]考点1　等比数列的有关概念1．定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q.2．等比中项如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab(ab≠0)．考点2　等比数列的有关公式1．通项公式：an＝a1qn－1.2．前n项和公式：Sn＝[必会结论]等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝

2、p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a.(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.(5)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.(6)等比数列{an}满足或时，{an}是递增数列；满足或时，{an}是递减数列．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”

3、)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．(　　)(2)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　)(3)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(　　)(4)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　　)(5)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×2．[2018·河南名校联考]在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝3，a9＝a2a3a4，则公比q的值为(　　)A.B.C．2D．3答案　D解析　由

4、a9＝a2a3a4得a1q8＝aq6，所以q2＝a，因为等比数列{an}的各项都为正数，所以q＝a1＝3.故选D.3．[课本改编]等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝(　　)A.B．－C.D．－答案　C解析　由已知条件及S3＝a1＋a2＋a3，得a3＝9a1，设数列{an}的公比为q，则q2＝9.所以a5＝9＝a1·q4＝81a1，得a1＝.故选C.4．[2018·黄冈调研]设等比数列{an}中，公比q＝2，前n项和为Sn，则的值(　　)A.B.C.D.答案　A解析　根据等比数列的公式，得＝＝＝＝.5．[2015·全国卷Ⅰ]在数列{an}中，a

5、1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.答案　6解析　∵a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.6．[2018·衡中检测]在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________.答案　4或－4解析　设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则两式相除，得＝，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝.所以或故a3＝4或a3＝－4.板块二　典例探究·考向突破考向　等比数列的基本运算例　1　(1)[2017·全国卷Ⅱ]我国古代数学名著《算法统

6、宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　)A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏答案　B解析　设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，∴S7＝＝＝381，解得a1＝3.故选B.(2)[2017·江苏高考]等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝________.答案　32解析　设{an}的首项为a1，公比为q，则两式相除得＝＝，解得所以a8＝×27＝25＝32.

7、触类旁通等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)所求问题可迎刃而解．解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程．【变式训练1】　(1)[2018·东北师大附中月考]已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a3＝，且a2＋a4＝，则＝(　　)A．4n－1B．4n－1C．2n－1D．2n－1