若干非线性偏微分方程精确解的研究

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1、理学硕士学位论文若干非线性偏微分方程精确解的研究王春艳哈尔滨工业大学2008年6月国内图书分类号：O175.9国际图书分类号：517.9理学硕士学位论文若干非线性偏微分方程精确解的研究硕士研究生：王春艳导师：付永强教授申请学位：理学硕士学科、专业：基础数学所在单位：数学系答辩日期：2008年6月授予学位单位：哈尔滨工业大学ClassifiedIndex：O175.9U.D.C.:517.9DissertationfortheMasterDegreeinScienceTHERESEARCHOFSOMENONLINEARPARTIALDIFFERENTIALEQUATIONS’EXACTS

2、OLUTIONSCandidate：WangChunyanSupervisor：Prof.FuYongqiangAcademicDegreeAppliedfor：MasterofScienceSpecialty：PureMathematicsAffiliation：DepartmentofMathematicsDateofDefence：June,2008Degree-Conferring-Institution：HarbinInstituteofTechnology：哈尔滨工业大学理学硕士学位论文摘要本文研究了某些非线性偏微分方程的精确解.在数学物理领域提出了很多非线性微分方程，这些

3、方程由于非线性导致求解的困难.特别是精确解的构造成为非线性科学领域的主要问题之一.一方面，一些系统的方法被提出并得到极大的发展，如反散射方法，贝克隆变换方法，双线性方法等等.这些方法不仅可以用来求单行波解，还可以用来求多行波解.另一方面，人们提出了很多直接方法来寻找精确解.一个被广泛使用的方法是直接展开法，就是假设解的形式，里面含有待定系数，然后代入方程，确定这些系数.用这个方法求得了很多非线性微分方程的精确解.文章中我们利用两个很新的方法研究非线性微分方程的单行波解.这两个方法分别是多项式完全判别系统方法和试探方程法.多项式完全判别系统方法可以用来确定很多非线性微分方程的所有单行波解

4、的分类.如果一个微分方程能够化成求积分形式，就可以利用多项式完全判别系统去分类它的解.如果非线性微分方程不能约化为积分形式，就可以利用试探方程法去分离出一个因子方程，就是所谓的试探方程，这个因子方程是可以约化成积分形式的，进而再利用多项式完全判别系统方法求试探方程的精确解.这就得到了原方程的精确解.本文首先利用多项式完全判别系统方法具体地研究了Zhiber－Shabaut方程，Landau-Ginzberg-Higgs方程和Klein-Gordon方程以及K(m,n)方程在不同参数下的所有单行波解，建立了完整的分类结果.其次我们利用试探方程法研究了Bretherton方程和形变Bous

5、sioesq方程的单行波解，得到了某些新结果.关键词微分方程;精确解;行波解;多项式完全判别系统法;试探方程法-I-哈尔滨工业大学理学硕士学位论文AbstractInthepaper,westudyexactsolutionsforsomenonlinearpartialdifferentialequations.Inthemathematicalphysicsfield,manynonlineardifferentialequationsareproposed.However,itisveryhardtofindtheexactsolutionstotheseequationssin

6、cetheyarenonlinearequations.Inparticular,toconstructtheexactsolutionsbecomesoneofthemainproblemsinnonlinearscience.Ontheonehand,someimportantmethodsareprovidedanddevelopedgreatly,suchasinversescatteringmethod,Backlundtransformationmethodandbilinearmethodandsoforth.Bythesemethods,wecannotonlygive

7、singletravelingwavesolutions,butalsomulti-travelingwavesolutions.Ontheotherhand,alotofdirectmethodsareintroducedtofindtheexactsolutions.Amongthose,thedirectexpansionmethodisusedextensively.Themainideaistoexpandthesolutionasa