《2.1 变化的快慢与变化率》导学案

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1、《2.1变化的快慢与变化率》导学案课程学习目标1.通过实例，明白变化率在实际生活中的应用，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义.2.理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法.课程导学建议重点:变化率的概念，实际意义及计算方法.难点:平均变化率的应用第一层级知识记忆与理解创设情境借助多媒体播放2012年伦敦奥运会中国跳水运动员陈若琳夺得女子单人10米跳台冠军的视频.我们知道运动员的平均速度(平均变化率)不一定能够反映她在某一时刻的运动状态，而运动员在不同时刻的运动状态是不同的，我们需要借助

2、于瞬时速度这样的量来刻画，那么我们如何才能求出运动员在某一时刻的瞬时速度呢？问题1:根据以上情境，设陈若琳相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10，如果用她在某段时间内的平均速度描述其运动状态，那么:(1)在0≤t≤0.5这段时间里，运动员的平均速度= =4.05m/s　. (2)在1≤t≤2这段时间里，运动员的平均速度= =-8.2m/s　. 问题2:函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率公式是 　.如果用x1与增量Δx表示，平均变化率的公式是 　. 问题3:如

3、何求函数的瞬时变化率？对一般的函数y=f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx=x1-x0，Δy=f(x1)-f(x0)，则函数的平均变化率是== 　. 而当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.问题4:平均变化率与瞬时变化率的关系是什么？(1)区别:平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在点x0处变化的快慢.(2)联系:当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值.知识链接人类

4、用了一千多年的时间来解释“瞬间”、刻画“瞬时速度”，最终伟大的物理学家、数学家牛顿点亮了思想的明灯，他将瞬间置于包含它的时间段之内，用动态的眼光看待静止的时刻，通过缩小时间段，实现了从近似到精确这一质的飞跃，建立起平均速度与瞬时速度间的本质联系，这一成果使得数学不仅能用来表示状态，而且也能表明运动过程，被恩格斯称为“人类精神的最高胜利”.基础学习交流1.函数f(x)=x2在区间[-1，3]上的平均变化率是(　　).A.4　　　　B.2　　　　C.　　　　D.【解析】==2.【答案】B2.在曲线y=x2+2的图像上取一点(1，3)及附

5、近一点(1+Δx，3+Δy)，则等于(　　).A.Δx++2B.Δx--2C.Δx+2D.2+Δx-【解析】===2+Δx.【答案】C3.函数f(x)=x+在区间[1，2]上的平均变化率为　　　　. 【解析】==.　　【答案】4.婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，求第二年婴儿体重的月平均变化率.【解析】由图可知，第二年婴儿体重的平均变化率为==0.25(千克/月).即第二年婴儿体重的月平均变化率为0.25(千克/月).第二层级思维探究与创新重点难点探究探究一平均变化率已知函数f(x)=2x2+3x-5.(1)求当x1=4且Δx=

6、1时，函数增量Δy和平均变化率；(2)求当x1=4且Δx=0.1时，函数增量Δy和平均变化率.【方法指导】先计算函数值的改变量Δy=f(x1+Δx)-f(x1)，得平均变化率=.【解析】f(x)=2x2+3x-5，∴Δy=f(x1+Δx)-f(x1)=2(x1+Δx)2+3(x1+Δx)-5-(2+3x1-5)=2[(Δx)2+2x1Δx]+3Δx=2(Δx)2+(4x1+3)Δx.(1)当x1=4，Δx=1时，Δy=2×12+(4×4+3)×1=21，==21.(2)当x1=4，Δx=0.1时，Δy=2×0.12+(4×4+3)×

7、0.1=1.92，==19.2.【小结】求平均变化率的主要步骤:(1)先计算函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1)；(2)再计算自变量的改变量Δx=x2-x1；(3)得平均变化率=.探究二瞬时变化率一辆汽车按规律s=3t2+1做直线运动，估计汽车在t=3s时的瞬时速度.(时间单位:s；位移单位:m)【方法指导】先求平均速度，当Δt趋于0时，则平均速度趋于瞬时速度.【解析】当时间从3变到3+Δt时，===3Δt+18，当Δt趋于0时，趋于常数18.∴这辆汽车在t=3s时的瞬时速度为18m/s.【小结】要求瞬时速度可先求平均速度，Δ

8、t趋于0，则平均速度趋于瞬时速度，理解求法中的逼近思想.探究三变化率的意义圆的面积S随着半径r的变化而变化.试分析圆的面积随半径r增大而增大的快慢情况.【方法指导】通过变化率来判断增大的快慢情况.【解析】圆的面积S随着半径r的平均变化