第二章变化率与导数2.1变化的快慢与变化率_瞬时变化率教案

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1、变化的快慢与变化率——瞬时变化率一、教学目标：1、理解函数瞬时变化率的概念；2、会求给定函数在某点处的瞬时变化率，并能根据函数的瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢。3、理解瞬时速度、线密度的物理意义，并能解决一些简单的实际问题。二、教学重点：知道瞬时变化率刻画的是函数在某点处变化的快慢。教学难点：对于平均速度与瞬时速度的关系的理解三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：函数平均变化率的概念1、对一般的函数y=f（x）来说，当自变量x从变为时，函数值从f（）变为。平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，函数在内的平均变化率为

2、，如我们常用到年产量的平均变化率。2、函数的平均变化率与函数单调性之间的关系。（二）、探究新课例1、一个小球从高空自由下落，其走过的路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的函数关系为其中，g为重力加速度，试估计小球在t=5s这个时刻的瞬时速度。分析：当时间t从t0变到t1时，根据平均速度公式，可以求出从5s到6s这段时间内小球的平均速度（m/s）。我们有时用它来近似表示t=5s时的瞬时速度。为了提高精确度，可以缩短时间间隔，如求出5～5.1s这段时间内的平均速度（m/s）。-3-用它来近似表示t=5s时的瞬时速度。如果时间间隔进一步缩短，那么

3、可以想象，平均速度就更接近小球在t=5s这个时刻的瞬时速度。解：我们将时间间隔每次缩短为前面的，计算出相应的平均速度得到下表：t0/st1/s时间的改变量（Δt）/s路程的改变量（Δs）/m平均速度/（m/s）55.10.14.9549.555.010.010.4949.04955.0010.0010.04949.004955.00010.00010.004949.000495…………可以看出，当时间t1趋于t0=5s时，平均速度趋于49m/s，因此，可以认为小球在t0=5s时的瞬时速度为49m/s。从上面的分析和计算可以看出，瞬时速度为49

4、m/s的物理意义是，如果小球保持这一刻的速度进行运动的话，每秒将要运动49m。例2、如图所示，一根质量分布不均匀的合金棒，长为10m。x（单位：m）表示OX这段棒长，y（单位：kg）表示OX这段棒的质量，它们满足以下函数关系：。估计该合金棒在x=2m处的线密度。分析：一段合金棒的质量除以这段合金棒的长度，就是这段合金棒的平均线密度。解：由，我们可以计算出相应的平均线密度得到下表x0/sx1/s长度x的改变量（Δx）/m质量y的改变量（Δs）/kg平均线密度/（kg/m）22.10.10.0700.7022.010.010.00710.7122

5、.0010.0010.000710.7122.00010.00010.0000710.71-3-2…………可以看出，当x1趋于x0=2m时，平均线密度趋于0.71kg/m，因此，可以认为合金棒在x0=2m处的线密度为0.71kg/m。从上面的分析和计算可以看出，线密度为0.71kg/m的物理意义是，如果有1m长的这种线密度的合金棒，其质量将为0.71kg。（三）、小结：对于一般的函数，在自变量x从x0变到x1的过程当中，若设Δx=x1－x０，，则函数的平均变化率是，而当Δx趋于0时，平均变化率就趋于在点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在一

6、点处变化的快慢。（四）、练习：课本练习2：1、2.（五）、作业：课本习题2-1：3、4、5五、教后反思：-3-