导数——平均变化率与瞬时变化率.doc

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1、导数——平均变化率与瞬时变化率一. 教学内容:       导数——平均变化率与瞬时变化率 二. 本周教学目标:1、了解导数概念的广阔背景,体会导数的思想及其内涵.2、通过函数图象直观理解导数的几何意义. 三. 本周知识要点:(一)平均变化率1、情境:观察某市某天的气温变化图2、一般地,函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”. (二)瞬时变化率——导数1、曲线的切线如图,设曲线c是函数的图象,点是曲线 c 上一点作割线

2、PQ,当点Q 沿着曲线c无限地趋近于点P,割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT,叫做曲线c在点P 处的切线割线PQ的斜率为,即当时,无限趋近于点P的斜率.2、瞬时速度与瞬时加速度1)瞬时速度定义:运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度,叫做瞬时速度.2)确定物体在某一点A处的瞬时速度的方法:要确定物体在某一点A处的瞬时速度,从A点起取一小段位移AA1,求出物体在这段位移上的平均速度,这个平均速度可以近似地表示物体经过A点的瞬时速度.当位移足够小时,物体在这段时间内的运动

3、可认为是匀速的,所得的平均速度就等于物体经过A点的瞬时速度.我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识,现在已经知道物体做直线运动时,它的运动规律用函数表示为s=s(t),也叫做物体的运动方程或位移公式,现在有两个时刻t0,t0+Δt,现在问从t0到t0+Δt这段时间内,物体的位移、平均速度各是:位移为Δs=s(t0+Δt)-s(t0)(Δt称时间增量)平均速度根据对瞬时速度的直观描述,当位移足够小,现在位移由时间t来表示,也就是说时间足够短时,平均速度就等于瞬时速度.现在是从t0到t0+Δt,这段

4、时间是Δt. 时间Δt足够短,就是Δt无限趋近于0.当Δt→0时,位移的平均变化率无限趋近于一个常数,那么称这个常数为物体在t= t0的瞬时速度同样,计算运动物体速度的平均变化率,当Δt→0时,平均速度无限趋近于一个常数,那么这个常数为在t= t0时的瞬时加速度.3、导数设函数在(a,b)上有定义,.若无限趋近于0时,比值 无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x=处可导,并称该常数A为函数在处的导数,记作.几何意义是曲线上点()处的切线的斜率.导函数(导数):如果函数在开区间内的每点处都有导数,此

5、时对于每一个,都对应着一个确定的导数,从而构成了一个新的函数,称这个函数为函数在开区间内的导函数,简称导数,也可记作. 【典型例题】例1、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙,ts后容器甲中水的体积(单位:),计算第一个10s内V的平均变化率.解:在区间[0,10]上,体积V的平均变化率为    即第一个10s内容器甲中水的体积的平均变化率为. 例2、已知函数,,分别计算在区间[-3,-1],[0,5]上函数及的平均变化率.解:函数在[-3,-1]上的平均变化率为在[-3,-1]上的平均变化率为函数在

6、[0,5]上的平均变化率为在[0,5]上的平均变化率为 例3、已知函数,分别计算函数在区间[1,3],[1,2],[1,1.1],[1,1.001]上的平均变化率.解:函数在区间[1,3]上的平均变化率为函数在[1,2]上的平均变化率为函数在[1,1.1]上的平均变化率为函数在[1,1.001]上的平均变化率为 例4、物体自由落体的运动方程s=s(t)=gt2,其中位移单位m,时间单位s,g=9.8m/s2. 求t=3这一时段的速度.解:取一小段时间[3,3+Δt],位置改变量Δs=g(3+Δt)

7、2-g·32=(6+Δt)Δt,平均速度g(6+Δt)当Δt无限趋于0时,无限趋于3g=29.4m/s. 例5、已知质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s),(1)当t=2,Δt=0.01时,求.(2)当t=2,Δt=0.001时,求.(3)求质点M在t=2时的瞬时速度.分析:Δs即位移的改变量,Δt即时间的改变量,即平均速度,当Δt越小,求出的越接近某时刻的速度.解:∵=4t+2Δt∴(1)当t=2,Δt=0.01时,=4×2+2×0.01=8.02cm/s.(2)当

8、t=2,Δt=0.001时,=4×2+2×0.001=8.002cm/s.(3) Δt0, (4t+2Δt)=4t=4×2=8cm/s  例6、曲线的方程为y=x2+1,那么求此曲线在点P(1,2)处的切线的斜率,以及切线的方程.解:设Q(1+,2+),则割线PQ的斜率为:斜率为2∴切线的斜率为2.切线的方程为y-2=2(x-1),即y=2x.

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