《二 用数学归纳法证明不等式》同步练习2

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1、《用数学归纳法证明不等式》同步练习21．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n＞1)”时，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是(　　)A．2k－1B．2k－1C．2kD．2k＋1答案：C2．当n＝1，2，3，4，5，6时，比较2n与n2的大小并猜想(　　)A．n≥1时，2n＞n2B．n≥3时，2n＞n2C．n≥4时，2n＞n2D．n≥5时，2n＞n2答案：D3．用数学归纳法证明2nn＞n2(n∈N，n≥5)，则应第一步验证n＝________.答案：54．用数

2、学归纳法证明＋＋…＋＞－，假设n＝k时不等式成立，当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________________．答案：－＋＞－5．关于正整数n的不等式2n>n2成立的条件是(　　)A．n∈N*B．n≥4C．n>4D．n＝1或n>4答案：D6．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋＜2(其中n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边＜右边，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，即1＋＋＋…＋＜2，那么n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＜2＋＝＜＝2.所以当n＝k

3、＋1时，不等式也成立．根据(1)和(2)可知，不等式对任何n∈N*都成立．7．设数列{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N*.(1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想an的一个通项公式．(2)当a1≥3时，证明对所有n≥1，有：①an≥n＋2；②＋＋…＋≤.解析：(1)由a1＝2，得a2＝3，a3＝4，a4＝5，猜想an＝n＋1.(2)①当n＝1时，a1＝3≥1＋2，不等式成立．假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，即ak≥k＋2，当n＝k＋1时，ak＋1＝a－kak＋1＝

4、ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1＝2k＋5≥k＋3.即ak＋1≥(k＋1)＋2，因此不等式成立．∴an≥n＋2对于n∈N*都成立．②由an＋1＝a－nan＋1及(1)知：当k≥2时，ak＝a－(k－1)ak－1＋1＝ak－1(ak－1－k＋1)＋1≥ak－1(k－1＋2－k＋1)＋1＝2ak－1＋1，∴ak＋1≥2(ak－1＋1)．即≥2.∴ak＋1≥2k－1(a1＋1)，≤·(k≥2)，＋＋…＋≤＝≤≤.8．证明：1＋＋＋…＋≥(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边

5、＝＝1，∴左边≥右边．即命题成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，即：1＋＋＋…＋≥.则当n＝k＋1时，要证明1＋＋＋…＋＋≥，只要证＋≥.∵－－＝－＝＝＜0，∴＋≥成立，即1＋＋＋…＋＋≥成立．∴n＝k＋1时，命题成立，根据(1)、(2)可知，对一切n∈N*命题都成立．9．(2013·惠州一调)等差数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn，等比数列{bn}各项均为正数，b1＝2，且s2＋b2＝7，S4－b3＝2.(1)求an与bn；(2)设cn＝，Tn＝c1·c2·c3…cn，求

6、证：Tn≥(n∈N*)．(1)解析：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由题知：s2＋b2＝7，s4－b3＝2，∴d＋2q＝5，3d－q2＋1＝0，解得q＝2或q＝－8(舍去)，d＝1；∴an＝1＋(n－1)＝n，bn＝2n.(2)证明：∵cn＝，∴cn＝.Tn＝×××…×.下面用数学归纳法证明Tn≥对一切正整数成立．(1)当n＝1时，T1＝≥，命题成立．(2)假设当n＝k时命题成立，∴Tk≥，则当n＝k＋1时，∵Tk＋1＝Tk·≥·＝·＝·≥，这就是说当n＝k＋1时命题成立，

7、综上所述，原命题成立．10．已知数列{bn}是等差数列，且b1＝1，b1＋b2＋b3＋…＋b10＝100.(1)求数列{bn}的通项bn；(2)设数列{an}的通项为an＝lg，设Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与lgbn＋1的大小，并证明你的结论．分析：本题除了考查有关数列的知识之外，在比较大小时还可进行归纳、猜想，然后用数学归纳法进行证明．解析：(1)由b1＝1，S10＝100得d＝2，所以bn＝2n－1.(2)由bn＝2n－1得：Sn＝lg(1＋1)＋lg＋…＋lg＝lg，lgbn＋1

8、＝lg，要比较Sn与lgbn＋1的大小可先比较(1＋1)…与的大小．当n＝1时，(1＋1)＞，当n＝2时，(1＋1)＞，　　　　…猜想(1＋1)…＞(*)．以下用数学归纳法进行证明：①n＝1时成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时成立，即(1＋1)…＞，当n＝k＋1时，(1＋1)…＞·＝(2＋2k)，∵2－()2＝＞0，∴(2＋2k)＞，∴(1＋1)…＞，当n＝k＋1时也成立．由①②可知(*)式对任何正整数都成立．∴Sn＞lgbn＋1.11．(1)已知函数f(x)