3.2.1 用数学归纳法证明不等式 同步练习 3

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1、3.2.1用数学归纳法证明不等式同步练习31．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n＞1)”时，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是(　　)　　　　　　　　　　　　A．2k－1B．2k－1C．2kD．2k＋1答案:C2．当n＝1，2，3，4，5，6时，比较2n与n2的大小并猜想(　　)A．n≥1时，2n＞n2B．n≥3时，2n＞n2C．n≥4时，2n＞n2D．n≥5时，2n＞n2答案:D3．用数学归纳法证明2nn＞n2(n∈N，n≥5)，则应第一步验证n＝_____

2、___．答案:54．用数学归纳法证明＋＋…＋＞－，假设n＝k时不等式成立，当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________________．答案:－＋＞－5．关于正整数n的不等式2n>n2成立的条件是(　　)A．n∈N*B．n≥4C．n>4D．n＝1或n>4答案:D6．对于不等式≤n＋1(n∈N＋)；某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，≤1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即＜k＋1.当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立．∴上述不等式成

3、立．由此可知(　　)A．过程全部正确B．n＝1时的验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析：证明过程未使用归纳假设．答案：D7．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，观察上述结果，可推测出的一般结论为(　　)A．f(2n)＞B．f(n2)≥C．f(2n)≥D．以上都不对解析：f(2)＝，f(4)＝f(22)＞，f(8)＝f(23)＞，f(16)＝f(24)＞，f(32)＝f(25)＞，所以推测f(2n)≥

4、.答案：C8．用数学归纳法证明“对于任意x＞0和正整数n，都有xn＋xn－2＋xn－4＋…＋＋＋≥n＋1”，需验证的使命题成立的最小正整数值n应满足(　　)A．n＝1B．n＝2C．n＝1，2D．以上答案均不正确答案：A9．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，用数学归纳法证明f(2n)＞时，f(2k＋1)－f(2k)＝________．解析：∵f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋…＋，f(2k)＝1＋＋＋…＋，∴f(2k＋1)－f(2k)＝＋＋…＋.答案：＋＋…＋.10．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋＜2(

5、其中n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边＜右边，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，即1＋＋＋…＋＜2，那么n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＜2＋＝＜＝2.所以当n＝k＋1时，不等式也成立．根据(1)和(2)可知，不等式对任何n∈N*都成立．11．设数列{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N*.(1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想an的一个通项公式；(2)当a1≥3时，证明对所有n≥1，有：①an≥n＋2；②＋＋…＋≤.解析：(1)由a

6、1＝2，得a2＝3，a3＝4，a4＝5，猜想an＝n＋1.(2)①当n＝1时，a1＝3≥1＋2，不等式成立．假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，即ak≥k＋2，当n＝k＋1时，ak＋1＝a－kak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1＝2k＋5≥k＋3.即ak＋1≥(k＋1)＋2，因此不等式成立．∴an≥n＋2对于n∈N*都成立．②由an＋1＝a－nan＋1及(1)知：当k≥2时，ak＝a－(k－1)ak－1＋1＝ak－1(ak－1－k＋1)＋1≥ak－1(k－1＋2－k＋1

7、)＋1＝2ak－1＋1，∴ak＋1≥2(ak－1＋1)．即≥2.∴ak＋1≥2k－1(a1＋1)，≤·(k≥2)，＋＋…＋≤＝≤≤.12．证明：1＋＋＋…＋≥(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝＝1，∴左边≥右边．即命题成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，即：1＋＋＋…＋≥.则当n＝k＋1时，要证明1＋＋＋…＋＋≥，只要证＋≥.∵－－＝－＝＝＜0，∴＋≥成立，即1＋＋＋…＋＋≥成立．∴n＝k＋1时，命题成立，根据(1)、(2)可知，对一切n∈N*命题都成立．13．等差

8、数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn，等比数列{bn}各项均为正数，b1＝2，且S2＋b2＝7，S4－b3＝2.(1)求an与bn；(2)设cn＝，Tn＝c1·c2·c3…cn，求证：Tn≥(n∈N*)．(1)解析：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由题知：S2＋b2＝7，S4－b3＝2，∴d＋2q＝5，3d－q2＋1＝0，解得q＝2或q＝－8(舍去)，d＝1；∴an＝1＋(n－1)＝n，bn＝2n