《二 用数学归纳法证明不等式》同步练习1.doc

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1、《用数学归纳法证明不等式举例》同步练习1一、选择题1．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋1)，第二步证明从“k到k＋1”，左端增加的项数是(　　)．A．2k－1B．2kC．2k－1D．2k＋1答案　B2．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>成立时，起始值n0至少应取(　　)．A．7B．8C．9D．10解析　1＋＋＋＋＋…＋＝，n－1＝6，n＝7，故n0＝8.答案　B3．已知x∈R＋，不等式x＋≥2，x＋≥3，…，可推广为x＋≥n＋1，则a的值为(　　)．A．2nB．n2C．22(n－1)D．nn答案　D4．如果命题P(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋2亦成立，又若P(

2、n)对n＝2成立，则下列结论正确的是(　　)．A．P(n)对所有正整数n成立B．P(n)对所有正偶整数n成立C．P(n)对所有正奇整数n成立D．P(n)对所有比1大的自然数n成立答案　B二、填空题5．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋1)，第一步要证明的不等式是____________________．答案　n＝2时，左边＝1＋＋＝<2＝右边6．用数学归纳法证明＋cosα＋cos3α＋…＋cos(2n－1)α＝(k∈Z*，α≠kπ，n∈N＋)，在验证n＝1时，左边计算所得的项是________．答案　＋cosα7．用数学归纳法证明：2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)时

3、，第一步应验证________________________．答案　n＝1时，22≥12＋12＋2，即4＝48．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜n(n∈N＋，且n＞1)时，第一步应验证不等式为________．答案　1＋＋＜2三、解答题9．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋>1(n>1，n∈N*)．证明　(1)当n＝2时，＋＋＝＝>1，即n＝2时命题成立.(2)设n＝k(k≥2)时，命题成立，即＋＋＋…＋>1，当n＝k＋1时，左边＝＋…＋＋>1＋(2k＋1)·－＝1＋.∵k>2，令f(k)＝k2－k－1，对称轴为k＝，∴(2，＋∞)为t的增区间，∴f(k)>f(2)，即k2－k－1>

4、22－2－1＝1，∴>0，∴n＝k＋1时，命题也成立．由(1)(2)知，当n>1，n∈N*时，命题都成立．10．设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1(n＝1，2，3，…)．(1)求a1、a2.(2)求数列{an}的通项公式．解　(1)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝.当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－，于是2－a2－a2＝0，解得a2＝.(2)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，即S－2Sn＋1－anSn＝0.当n≥2时

5、，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0.(*)由(1)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝.由(*)可得S3＝.由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，….下面用数学归纳法证明这个结论．①n＝1时已知结论成立．②假设n＝k时结论成立，即Sk＝.当n＝k＋1时，由(*)得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，故n＝k＋1时结论也成立．综上，由①②可知，Sn＝对所有正整数n都成立．于是当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，又n＝1时，a1＝＝，所以{an}的通项公式为an＝，n＝1，2，3，….11．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝＋(n≥1)．证明：

6、，证明an>成立．(1)当n＝1时，a1＝2>成立．(2)假设n＝k(k≥1)时，ak>成立，当n＝k＋1时，由题意知ak＋1＝＋≥2＝，即ak＋1≥，当且仅当＝即ak＝时，等号成立．这与ak>矛盾，所以只有ak＋1>.由(1)，(2)知，不等式an>(n∈N*)成立．其次，证明不等式an<＋(n∈N*)成立．(1)当n＝1时，a1＝2<＋＝1＋，即不等式成立．(2)假设n＝k(k≥1)时，不等式ak<＋成立．由题知，当n＝k＋1时，ak＋1＝＋，由ak<＋，得<＋①由ak>，得<②由①，②得＋<＋＋＝＋，即ak＋1<＋＝＋<＋，即ak＋1<＋成立．由(1)，(2)得不等式an<＋(

7、n∈N*)成立．综上所述，