非线性动力学引论

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1、《非线性动力学引论》第二讲分形(Fractals)南京大学天文系周济林zhoujl@nju.edu.cn内容提要•分形的定义及分维•产生分形的数学模型•产生分形的物理模型一、分形及分维定义：具有某种自相似性结构的集合称为分形。Fractal一词是B.B.Mandelbrot1975年提出的。Koch曲线Sierpinski地毯分形三要素•形状•维数（随尺度变化的一个有限、定量描述）•随机性（随机产生、动力学）维数(1)相似维logN(ε)D=limlog(1/ε)ε→01N(1/4)=4Cantor三分

2、集log2N(1/4)=42D=≈log30.63Koch曲线log4D=≈1.26log3log4Sierpinski地毯D=≈1.26log3log3D=≈1.58log2（2）豪斯道夫(hausdorff)维数定义1：称{Vii}为分形F的一个δδ覆盖，若V是直径小于的集合（即0<

3、V

4、<δ）,且∪VF⊃.ii∞s定义2：HFs()inf{

5、V

6、:{V}F记为=∑的δ覆盖}δiii=1s随着δδ减小，能覆盖F的集类也减小，故下确界HF()随着增加。当→0时趋向δnss于一极限(对ℜ=中的子集该极限

7、都存在,但可以是零或无穷)，记HF()H()F，limδδ→0s容易证明HF()是一测度，事实上：s(1)若φφ是空集，则H()＝0；ss(2)若则EF⊂≤,H(E)H(F);∞∞ss(3)若{Fi}为任何可数不交波雷尔序列，则HF(∪ii)=∑H(F)i=1i=1sn则称H()Fs为F的维豪斯道夫测度。可证明，ℜ中任何子集的n维豪斯道夫测度与n维勒贝格测度（n维体积）仅相差一常数倍。tHF()关于t不增：δtsts−若t>s，且{Uii}为F的δδ-覆盖，有∑∑

8、U

9、

10、≤Ui

11、.iitt−ss取下确界

12、得，HF()≤→δδHF().令0，可见δδst对t>s，若HF()<∞,则HF()=0.δδ所以，存在dimF，使得H∞∞若sdimFHdimFF称为的豪斯道夫维。0HdimHFs(3)计盒(box-counting)维数•改进豪斯道夫维数，令覆盖的盒子大小形状都相同。若用N(δ,F)表示覆盖F的盒子数目，则根据豪斯道夫测度定义∞ssHFδ()=inf{∑

13、Vii

14、:{V}为的Fδ覆盖}i=1∞ssS此时有：HFδ()=inf{

15、∑δ

16、:{}δδi为F的

17、有限覆盖}＝N(,F)δi=1∞若sdB－dB故只有：limNF(δδ,)～时，该极限才有限。故定义：δ→0lnNF(δ,)d=lim,称为计盒维数。Bln(1/δ)δ→0数值计算和实验中广泛采用计盒维数非常简单，但反映的信息不多（稠密情况）。更广义的维数有：(4)分维谱定义：设{C}(i=1,…,N)为D维欧氏空间对某一个集合（如吸引i子）的覆盖。一条轨道若随着时间趋于无穷，可以遍历该集合的除一个零Lebesgue测度外的所有点，我们称该轨

18、道是典型的。设从x出发的一条典型轨道，其在T时间内在C内度过的时0i间为η(c,x,T),则定义该Ci的自然测度为：i0η(,Cx,T)limi0µ=iT→∞T定义：D=1limlnI(q,ε)q1−qε→0ln(1/ε)N(ε)其中：qI(q,ε)=∑µii=1N(ε)为大小为ε的盒子的数目。该维数称为D维。其特例：qq=0,I(0,ε)=N(ε),得到计盒维数若所有μ都相等,μ=1/N(ε),则lnI(q,ε)=(1-q)lnN(ε),ii同样得到计盒维数.故只有等概率或不算概率时Dq维才等于计盒维

19、数。1lnI(q,ε)D=limq1−qε→0ln(1/ε)q=1,定义D1=limq→1Dq则根据L’Hospital法则N(ε)∑µilnµiD=limi=11ε→0ln(ε)该维数称为信息维。2q=2:ln∑µ(q,ε)D=1limiq1l−qε→0n(1/ε)称为分形结构的关联维数。所以对所有q,Dq形成了一个分维谱，一般地q>q,有D

20、Z=Z2，Z=Z2+cn+1nn+1n单位圆上处处不稳定周期轨道对于复迭代zf=(,zc),f的Julia集J(f)定义为f不稳定周期点集的闭包。nn+12复迭代zz=+c的Julia集nn+1http://mathworld.wolfram.com/JuliaSet.html计算机制图方法：2JuliaSetofz=z+in+1n1.52.001.04.500.57.009.500.0y12.0-0.514.517.0-1.019.5-1