非线性泛函分析引论

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1、非线性泛函分析引论公主岭第三高级中学数学组：张娜摘要：讨论了三阶非线性两点边值问题[m/z(0)一0/(0)=0,w(l)=0,/⑴=0正解的存在性•利用锥上的不动点定理证明了该问题至少存在两个正解.关键词：三阶常微分方程；边值问题；正解的存在性；锥.Abstract:Theexistenceofapositivesolutiontotwo-pointboundaryvalueproblemsareconsideredforthird-ordernonlineardifferentialequationf(/，“(!))=0，

2、isstudiedwitha/(0)-血"(0)=0,u(l)=0,/(l)=0・AtleasttwopositivesolutionexistsbyusingtheFixedPointTheoremincones.Keywords：third-ordernonlineardifferentialequation;boundaryvalueproblem;existenceofapositivesolution;cone.1、引言1.1研究背景常微分方程作为一门学科是伴随着微积分的形成而产生的,在十七世纪作为微积分的一部分，微

3、分方程和微积分彼此不分,十八世纪由于天文学，力学，物理学的需要，同时也是由于解决许多复杂的问题需要专门的技术，这样微分方程开始成为了一门独立的学科，在数学及许多应用学科屮，发挥着越来越大的作用，直到现在作用仍然冇增无减.非线性微分方程的边值问题是微分方程领域中一个十分重要的研究领域.近几年来,人们在对三阶微分方程的两点边值问题正解的存在性研究方面做了许多工作，起到了举足轻重的作用，并且非线性边值问题在自然科学，生产实践以及工程技术领域中都冇广泛的应用.最近，国内外许多学者少9】札

4、继用不动点定理,非线性抉择和迭合度理论等研究给

5、出非线性边值问题匸解的存在性的一些结果•文献[10],[11]中只在局部范围内对此类问题进行了研究，本文将在更广泛的范围内研究边值问题至少存在两个正解的情况，使其更具有实际意义.1.2研究问题木文研究如下三阶非线性两点边值问题=0(1)]如'(0)-0/(0)=0,u(l)=0,u(V)=0(2)正解的存在性•这里Q,0是非负常数，冃。+0>0.以下,我们总假定：(HJ/gC([0,l]x[0,oo),[0,oo)).H/(r,n)在疋[0,1]的任何子区间上不恒为零;(兄)limminze(0n)/w)=limmin/G

6、0

7、u(/(^w)/w)=oo；U—>+81'J(比)存在〃>0,使得05“5卩,且05/51,则〃=其中OvSv丄.在第二部分我们给出了基本理论，包括基本概念和基本引理.第三部分我们给岀了本文的主要结果及证明.2、基本理论2.1基本概念定义2.1.1设E是Banach空间，P是E屮的非空闭集.如果P满足（i）任给x,eP,a>0,0>0,有+pyeP；（“）若XGP,XH仇贝1」一兀纟P,则称P是E屮的锥.定义2.1.2设是B空间，设tY线性；称A是紧算子，如果丽在丫中是紧集，其中色是X中的单位球.定义2.1.3连续算子/LMt

8、E?，若A把M屮的任一有界集映为E?屮的紧致集,则称A为全连续算子.定义2.1.4所谓谕）是边值问题（1）,⑵的止解，是指谕）是边值问题⑴，⑵的解，且谕）>0,虫（0,1）.2.2基本引理引理2・1'）边值问题)厂=0a/(0)-0/(0)=0,y(l)=0,『⑴=0有唯一解这里G(f,s)=如—1)G—1)(

9、[(z-1)(5-1)(at+/3a+0m+0B是边值问题（3）,⑷的Green函数引理2.2G(t,5)

10、<5<12G+0屮(t,s)：=—[(/-1)(5-1)(—~+1)-(1-5)2+(/-5)2],0

11、$)_a+0莎r而(1_$)(丄+$)G+0(i—oS+0)(1一$)(0+。$+0$)二(1-。讼+0)一g+20訥)引理2.3证毕.不难验证边值问题(1),(2)等价于积分方程"⑴=fG(t,5)/(5,u(s))ds=:Au(t),K={uwC[O,1]:u(j)>O,