非线性泛函分析试题与答案

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1、一.名词解释弱收敛，弱*收敛，，强制，Gateaux可微，Frechet可微，紧映射，正则点，临界点，正则值，临界值，映射的Brouwer度，全连续场，全连续场的Leray-Schauder度二.举例说明无穷维空间中的有界闭集不是紧集。三.求下列函数在处沿着方向的G-微分四.证明Poincare不等式：存在常数使得对任意，有五.设是有界闭集，是上的连续函数，证明积分算子是全连续算子。六.设是Banach空间，连续，对固定的，关于是局部Lipschitz的，并且Lipschitz常数对在有界区间上一致有界，

2、证明：存在，使得下列初值问题在区间上有唯一解七.证明Gronwall不等式：设是上的实函数，其中非负且在上Lebesgue可积，在上绝对连续，在上连续，若它们满足则八.证明Brouwer度的切除性、Kronecker存在性定理、连通区性质、边界值性质、Poincare-Bohl定理、锐角原理、缺方向性质。九.设连续，关于是局部Lipschitz的，关于是周期的，若存在球使得时，，证明下列初值问题存在周期解十.设是有界闭集，是上的连续函数，并且满足下面的不等式其中，证明下列积分方程有连续解十一.设定义为证明

3、，其中.一.名词解释弱收敛:弱*收敛::强制:Gateaux可微:Frechet可微:紧映射:正则点:临界点，正则值，临界值:映射的Brouwer度全连续场全连续场的Leray-Schauder度二.举例说明无穷维空间中的有界闭集不是紧集。（5页）三.求下列函数在处沿着方向的G-微分四.证明Poincare不等式：存在常数使得对任意，有五.设是有界闭集，是上的连续函数，证明积分算子是全连续算子。(44页)六.设是Banach空间，连续，对固定的，关于是局部Lipschitz的，并且Lipschitz常数对

4、在有界区间上一致有界，证明：存在，使得下列初值问题在区间上有唯一解（59页）七.证明Gronwall不等式：设是上的实函数，其中非负且在上Lebesgue可积，在上绝对连续，在上连续，若它们满足（61页）则八.证明Brouwer度的切除性、Kronecker存在性定理、连通区性质、边界值性质、Poincare-Bohl定理、锐角原理、缺方向性质。（83页）九.设连续，关于是局部Lipschitz的，关于是周期的，若存在球使得时，，证明下列初值问题存在周期解（91页）十.设是有界闭集，是上的连续函数，并且满

5、足下面的不等式其中，证明下列积分方程有连续解十一.设定义为证明，其中.(春雪给的)