函数的奇偶性 (2)

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1、函数的奇偶性一、知识要点：1、函数奇偶性定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数；如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数．2、函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法（1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③

2、作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数。函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称．(2)利用图像判断函数奇偶性的方法：图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y轴对称的函数为偶函数。3、函数奇偶性的性质：奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性．

3、二、例题精讲：题型1：函数奇偶性的判定1.判断下列函数的奇偶性：①,②,③④随堂练习１：设函数f（x）在（－∞，+∞）内有定义，下列函数：①y=－

4、f（x）

5、；②y=xf（x2）；③y=－f（－x）；④y=f（x）－f（－x）。必为奇函数的有___（要求填写正确答案的序号）题型2：函数奇偶性的证明2．已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).求证：f(x)是奇函数；随堂练习２：已知f（x）=是奇函数，则实数a的值等于题型3：函数奇偶性的应用3．设定义在[-2，2]上

6、的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1-m)

7、x)的最大值、最小值分别为M、N，则M+N=.６．已知f(x)是定义在［－1，1］上的奇函数，且f(1)=1,若a,b∈［－1,1］,a+b≠0时，有＞0.（1）判断函数f(x)在［－1，1］上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式：f(x+)＜f();（3）若f(x)≤m2－2pm+1对所有x∈［－1,1］,p∈［－1,1］(p是常数）恒成立，求实数m的取值范围.三、巩固练习：１．已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是①y=f(

8、x

9、);②y=f(-x);

10、③y=x·f(x);④y=f(x)+x.２．设函数若函数是偶函数，则的递减区间是３．已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x，则在x<0上f(x)的表达式为４．设f(x)=ax5+bx3+cx－5(a,b,c是常数)且,则f（7）=.５．若函数的图象关于原点对称，则实数应满足的条件是．６．已知函数，常数、，且，则７．已知函数是定义在上的偶函数，则，９．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则　　　　　10．判断下列函数的奇偶性①；②；③；11．已知函数是定义在实数集上的偶

11、函数，当时，。（1）写出函数的表达式；（2）指出函数的单调区间及单调性；（3）求函数的最值。15．求证：函数是奇函数。能力训练题１．判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=；（2）；（3）f(x)=x+1(x[-10,10))；２．函数f(x)(xÎR)是奇函数，且_．３．已知函数为偶函数，则的值是．４．如果奇函数在区间上最大值为，那么在区间上最小值是５．为奇函数，则．