《函数的奇偶性》课件2

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1、2.1.4函数的奇偶性考察下列两个函数：(1);(2).思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？xyo图（1）xyo图（2）思考2:对于上述两个函数，f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(3)与f(-3)有什么关系？知识探究（一）思考3:一般地，若函数y=f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)与f(-x)有什么关系？反之成立吗？思考4:我们把具有上述特征的函数叫做偶函数，那么怎样定义偶函数？如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)成立，则称函数f(x)为偶函数.f

2、(x)=f(-x)思考5:等式f(-x)=f(x)用文字语言怎样表述？自变量相反时对应的函数值相等思考6:函数是偶函数吗？偶函数的定义域有什么特征？偶函数的定义域关于原点对称知识探究（二）考察下列两个函数：(1);(2).思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？思考2:对于上述两个函数，f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(3)与f(-3)有什么关系？xyo图（1）xyo图（2）思考3:一般地，若函数y=f(x)的图象关于坐标原点对称，则f(x)与f(-x)有什么关系？反之成立吗？思考4:

3、我们把具有上述特征的函数叫做奇函数，那么怎样定义奇函数？如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f(x)为奇函数.f(x)=-f(-x)思考5:等式f(-x)=-f(x)用文字语言怎样表述？自变量相反时对应的函数值相反思考6:函数是奇函数吗？奇函数的定义域有什么特征？奇函数的定义域关于原点对称偶函数定义：如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫偶函数奇函数定义：如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x).那么f(x)就

4、叫奇函数数学概念例1、判断下列函数的奇偶性（2）解：(1)因为f(-x)=2x=-f(x),所以f(x)是奇函数.(2)因为f(x)的定义域为［－１,１］是偶函数(1)例题讲解（4）（3）故f(2)不存在，所以就谈不上与f(-2)相等了，由于任意性受破坏。所以它没有奇偶性解：（3）（4）故函数没有奇偶性定义域是否关于原点对称思考：在刚才的几个函数中有的是奇函数不是偶函数，有的是偶函数不是奇函数，也有既不是奇函数也不是偶函数的.那么有没有这样的函数，它既是奇函数又是偶函数呢？f(x)=0是不是具备这样性质的函数解析

5、式只能写成这样呢？例2、已知函数f(x)既是奇函数又是偶函数.求证：f(x)=0证明：因为f(x)既是奇函数又是偶函数所以f(-x)=f(x),且f(-x)=-f(x)所以f(x)=-f(x)所以2f(x)=0即f(x)=0.这样的函数有有多少个呢？f(x)只是解析式的特征。若改变函数的定义域，如f(x)=0,x∈[-1,1]和f(x)=0,x∈{-2,-1,0,1,2}显然是不同的函数，但他们都既是奇函数又是偶函数，所以这样的函数有无数多个.函数按是否有奇偶性可分为四类：(1)奇函数;(2)偶函数;(3)既是奇

6、函数又是偶函数;(4)既不是奇函数又不是偶函数.例3、判断下列函数的奇偶性（1）解：当b=0时，f(x)为奇函数，当b≠0时，f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.（2）解：当a=0时，f(x)既是奇函数又是偶函数，当a≠0时，f(x)是偶函数.3.具有奇偶性的函数图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．判断方法:4.性质法:偶与偶的和差积商仍为偶;奇与奇的和差为奇,积商为偶;奇与偶的积商为奇.课堂小结1.定义式:2.等价形式: