《1.3.3函数的最大小值与导数》同步练习5

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1、《函数的最大(小)值与导数》同步练习5基础巩固强化1．函数y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2，1]上的最小值为(　　)A．B．2C．－1D．－42．设f(x)是一个三次函数，f′(x)为其导函数，如图是函数y＝x·f′(x)的图象的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是(　　)A．f(1)与f(－1)B．f(－1)与f(1)C．f(－2)与f(2)D．f(2)与f(－2)3．已知函数f(x)＝x3＋x2－6x＋2.(1)写出函数的单调递减区间；(2)讨论函数的极值．4．已知函数f(x)＝x3－ax2＋(a2－1)x＋b(a、b∈R)，其图象在点(1，f(1))处的切

2、线方程为x＋y－3＝0.(1)求a、b的值；(2)求函数f(x)的单调区间，并求出f(x)在区间[－2，4]上的最大值．5．已知函数f(x)＝x3－ax＋b，其中实数a、b是常数．(1)已知a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，求事件A：“f(1)≥0”发生的概率；(2)若f(x)是R上的奇函数，g(a)是f(x)在区间[－1，1]上的最小值，求当

3、a

4、≥1时，g(a)的解析式．6．已知函数f(x)＝xlnx.(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)≥－x2＋ax－6在(0，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围；(3)过点A(－e－2，0)作函数y＝f(x

5、)图象的切线，求切线方程．答案基础巩固强化1．[答案]　C[解析]　y′＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)，令y′＝0解得x＝或x＝－1.当x＝－2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝2；当x＝时，y＝；当x＝1时，y＝2.所以函数的最小值为－1，故应选C.2．[答案]　C[解析]　由图象知f′(2)＝f′(－2)＝0.∵x>2时，y＝x·f′(x)>0，∴f′(x)>0，∴y＝f(x)在(2，＋∞)上单调递增；同理f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，∴y＝f(x)的极大值为f(－2)，极小值为f(2)，故选C.3．[解析]　f′(x)＝

6、3x2＋3x－6＝3(x＋2)(x－1)，令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－2.x变化时，f′(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示：x(－∞，－2)－2(－2，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)增极大值f(－2)减极小值f(1)增(1)由表可得函数的递减区间为(－2，1)(2)由表可得，当x＝－2时，函数有极大值为f(－2)＝12；当x＝1时，函数有极小值为f(1)＝－.4．[解析]　(1)f′(x)＝x2－2ax＋a2－1，∵(1，f(1))在直线x＋y－3＝0上，∴f(1)＝2，∴2＝－a＋a2－1＋b，又f′(1)＝－1，∴a2－2a

7、＋1＝0，解得a＝1，b＝.(2)∵f(x)＝x3－x2＋，∴f′(x)＝x2－2x，由f′(x)＝0可知x＝0和x＝2是f(x)的极值点，所以有x(－∞，0)0(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋00＋f(x)极大值极小值所以f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间是(0，2)．∵f(0)＝，f(2)＝，f(－2)＝－4，f(4)＝8，∴在区间[－2，4]上的最大值为8.5．[解析]　(1)当a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}时，等可能发生的基本事件(a，b)共有9个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1

8、，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)．其中事件A：“f(1)＝－a＋b≥0”包含6个基本事件：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，1)，(1，2)，(2，2)，故P(A)＝＝，即事件“f(1)≥0”发生的概率为.(2)由f(x)＝x3－ax＋b是R上的奇函数得，f(0)＝0，∴b＝0.∴f(x)＝x3－ax，f′(x)＝x2－a，①当a≥1时，因为－1≤x≤1，所以f′(x)≤0，f(x)在区间[－1，1]上单调递减，从而g(a)＝f(1)＝－a；②当a≤－1时，因为－1≤x≤1，所以f′(x)>0，f(x)在区间[－1，1]上单调递增，从而g(a)＝f(

9、－1)＝－＋a.综上可得，g(a)＝.6．[解析]　(1)∵f′(x)＝lnx＋1，∴由f′(x)<0得lnx<－1，∴00，函数g(x)单调递增．∴g(x)最小值为g(2)＝5＋ln2，∴实数a的取值范围是(－∞，5＋ln2]．(3)设切点T(x0，y0)，则kAT＝f′(x0)，∴＝lnx0＋1，即e2x0＋l