《1.3.2 利用导数研究函数的极值(1)》同步练习6

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1、《1.3.2利用导数研究函数的极值(1)》同步练习6一、基础过关1.函数y=f(x)的定义域为(a,b),y=f′(x)的图象如图,则函数y=f(x)在开区间(a,b)内取得极小值的点有(  )A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列关于函数的极值的说法正确的是(  )A.导数值为0的点一定是函数的极值点B.函数的极小值一定小于它的极大值C.函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D.若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内不是单调函数3.函数y=x3-3x2-9x(-2

2、值D.极小值-27,无极大值4.已知函数f(x),x∈R,且在x=1处f(x)存在极小值,则(  )A.当x∈(-∞,1)时,f′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0B.当x∈(-∞,1)时,f′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0C.当x∈(-∞,1)时,f′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0D.当x∈(-∞,1)时,f′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)<05.若函数f(x)=在x=1处取极值,则a=______.6.设函数f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax.若f(x)的两个极值点为x1,x2,且x1x2=1,则实数a

3、的值为____.7.求下列函数的极值:(1)f(x)=;(2)f(x)=x2e-x.二、能力提升8.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于(  )A.2B.3C.6D.99.若函数y=x3-3ax+a在(1,2)内有极小值,则实数a的取值范围是(  )A.14或a<110.如果函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断:①函数y=f(x)在区间内单调递增;②函数y=f(x)在区间内单调递减;③函数y=f(x)在区间(4,5)内单调递增;④当x=2时,函数y=f(x)有

4、极小值;⑤当x=-时,函数y=f(x)有极大值.则上述判断正确的是________.(填序号)11.已知f(x)=x3+mx2-2m2x-4(m为常数,且m>0)有极大值-,求m的值.12.设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a.(1)求f(x)的极值;(2)当a在什么范围内取值时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点?三、探究与拓展13.已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),其中a∈R.(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率;(2)当a≠时,求函数f(x)的单调区间与极值.答案1.A 2.D 3.C 4.C 5.36

5、.97.解 (1)函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).∵f′(x)=,令f′(x)=0,得x1=-1,x2=2.当x变化时,f′(x),f(x)的变化状态如下表:故当x=-1时,函数有极大值,并且极大值为f(-1)=-.(2)函数的定义域为R,f′(x)=2xe-x+x2·′=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x,令f′(x)=0,得x=0或x=2.当x变化时,f′(x),f(x)的变化状态如下表:由上表可以看出,当x=0时,函数有极小值,且为f(0)=0;当x=2时,函数有极大值,且为f(2)=4e-2.8.D 9.B 10.③11.解 ∵f′(x)=3x2+mx

6、-2m2=(x+m)(3x-2m),令f′(x)=0,则x=-m或x=m.当x变化时,f′(x),f(x)的变化状态如下表:∴f(x)极大值=f(-m)=-m3+m3+2m3-4=-,∴m=1.12.解 (1)f′(x)=3x2-2x-1.令f′(x)=0,则x=-或x=1.当x变化时,f′(x),f(x)的变化状态如下表:所以f(x)的极大值是f(-)=+a,极小值是f(1)=a-1.(2)函数f(x)=x3-x2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1,由此可知,x取足够大的正数时,有f(x)>0,x取足够小的负数时,有f(x)<0,所以曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点

7、.由(1)知f(x)极大值=f(-)=+a,f(x)极小值=f(1)=a-1.∵曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点,∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0,即+a<0或a-1>0,∴a<-或a>1,∴当a∈(-∞,-)∪(1,+∞)时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.13.解 (1)当a=0时,f(x)=x2ex,f′(x)=(x2+2x)ex,故f′(1)=3e.(2)f′(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex.令f′(x)=0,解得x=-2a或x=a-2,由a≠知,-2a

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