《1.3.3 函数的最大(小)值与导数(2)》教学案2

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1、《1.3.3函数的最大(小)值与导数(2)》教学案2教学目标:⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念,掌握可导函数在闭区间上所有点(包括端点)处的函数中的最大(或最小)值必有的充分条件;⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤教学重点:利用导数求函数的最大值和最小值的方法.教学难点:函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系.教学过程:一.创设情景我们知道,极值反映的是函数在某一点附近的局部性质,而不是函数在整个定义域内的性质.也就是说,如果是函数的极大(小)值点,那么在点附近找不到比更大(小)的值.但是,在解决实际问题或研究函数的性质时,我们更关心函数

2、在某个区间上,哪个至最大,哪个值最小.如果是函数的最大(小)值,那么不小(大)于函数在相应区间上的所有函数值.二.新课讲授观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象.图中与是极小值,是极大值.函数在上的最大值是,最小值是.1.结论:一般地,在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线,那么函数在上必有最大值与最小值.说明:⑴如果在某一区间上函数的图像是一条连续不断的曲线,则称函数在这个区间上连续.(可以不给学生讲)⑵给定函数的区间必须是闭区间,在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如函数在内连续,但没有最大值与最小值;⑶在闭区间上的每一点必须连续,即函数图像没有间断,⑷函数在

3、闭区间上连续,是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件.(可以不给学生讲)2.“最值”与“极值”的区别和联系⑴最值”是整体概念,是比较整个定义域内的函数值得出的,具有绝对性;而“极值”是个局部概念,是比较极值点附近函数值得出的,具有相对性.⑵从个数上看,一个函数在其定义域上的最值是唯一的;而极值不唯一;⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个⑷极值只能在定义域内部取得,而最值可以在区间的端点处取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值.3.利用导数求函数的最值步骤:

4、由上面函数的图象可以看出,只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较,就可以得出函数的最值了.一般地,求函数在上的最大值与最小值的步骤如下:⑴求在内的极值;⑵将的各极值与端点处的函数值、比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值,得出函数在上的最值三.典例分析例1.(课本例5)求在的最大值与最小值解:由例4可知,在上,当时,有极小值,并且极小值为,又由于,因此,函数在的最大值是4,最小值是.上述结论可以从函数在上的图象得到直观验证.四.课堂练习1.下列说法正确的是()A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D

5、.在闭区间上的连续函数一定存在最值2.函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是M,最小值是m,若M=m,则f′(x)()A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有可能3.函数y=,在[-1,1]上的最小值为()A.0B.-2C.-1D.4.求函数在区间上的最大值与最小值.5.课本练习五.回顾总结1.函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中:导数等于零的点,导数不存在的点,区间端点;2.函数在闭区间上连续,是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件;3.闭区间上的连续函数一定有最值;开区间内的可导函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值4.利用导数

6、求函数的最值方法.六.布置作业

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