《2.2 椭圆-2.2.2 椭圆的几何性质》导学案1

《《2.2 椭圆-2.2.2 椭圆的几何性质》导学案1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、《2.2.2椭圆的几何性质》导学案1教学过程一、问题情境问题1　方程+=1表示什么样的曲线？你能利用以前学过的知识画出它的图形吗？解　方案1　列表、描点、连线进行作图，在取点的过程中想到了椭圆的范围问题.方案2　求出椭圆曲线与坐标轴的四个交点，联想椭圆曲线的形状得到图形.方案3　只作第一象限内的图形，联想椭圆形状，利用对称性得到其他象限内的图形.[1]问题2　与直线方程和圆的方程相对比，椭圆的标准方程+=1(a>b>0)有什么特点？[2]解　①椭圆方程是关于x，y的二元二次方程；②方程的左边是平方和的形式，右

2、边是常数1；③方程中x2和y2的系数不相等.二、数学建构1.结合椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的范围.方案1　+=1变形为=1-≤1，即x2≤a2，所以-a≤x≤a.同理可得-b≤y≤b.方案2　椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1，那么这两个数都不大于1，所以≤1，所以-a≤x≤a.同理可以得到y的范围是-b≤y≤b.(图1)方案3　还可以用三角换元，设=cosθ，=sinθ，利用三角函数的有界性，也可以得到x，y的范围.这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内(如图1).2.继续观察椭

3、圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆的对称性.[3]在椭圆的标准方程中，把x换成-x，方程并不改变，这说明当点P(x，y)在椭圆上时，它关于y轴的对称点P'(-x，y)也在椭圆上，所以椭圆关于y轴对称.同理，把y换成-y，或同时把x，y分别换成-x，-y时，方程都不变，所以椭圆关于x轴和原点都是对称的.因此，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.3.再次观察椭圆标准方程的特点，利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标.在椭圆的标准方程中，令x=0，得y=±b，这说明点B1(0，

4、-b)，B2(0，b)是椭圆与y轴的两个交点.同理，点A1(-a，0)，A2(a，0)是椭圆与x轴的两个交点，这四个点是对称轴与椭圆的交点，称为椭圆的顶点.线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.在椭圆的定义中，2c表示焦距，这样，椭圆方程中的a，b，c就有了明显的几何意义.问题3　在椭圆标准方程的推导过程中令a2-c2=b2能使方程简单整齐，其几何意义是什么？解　c表示半焦距，b表示短半轴长，因此，连结顶点B2和焦点F2，可以构造一

5、个直角三角形OB2F2，在Rt△OB2F2内，O+O=B2，即c2+b2=a2.△OB2F2称为椭圆的特征三角形.4.圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较“圆”，椭圆的“圆扁”取决于哪些因素？用什么样的量来刻画椭圆的“圆扁”程度比较合适？方案1　用几何画板演示.方案2　可以用比值来刻画，当越大，椭圆越圆；当越小，椭圆越扁.方案3　还可以用比值来刻画，当越大，椭圆越扁；当越小，椭圆越圆.一般地，我们用比值来刻画椭圆的“圆扁”程度.离心率:焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，记为e，即e=.因为a>

6、c>0，所以0b>0)+=1(a>b>0)范围

7、x

8、≤a，

9、y

10、≤b

11、x

12、≤b，

13、y

14、≤a对称性关于x轴、y轴成轴对称；关于原点

15、成中心对称关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a，0)，(-a，(b，0)，(-b，0)，(0，a)，(0，-a)顶点坐标0)，(0，b)，(0，-b)焦点坐标(c，0)，(-c，0)(0，c)，(0，-c)半轴长长半轴长为a，短半轴长为b，a>b长半轴长为a，短半轴长为b，a>b离心率e=e=a，b，c的关系a2=b2+c2a2=b2+c2三、数学运用【例1】　求椭圆+=1的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆.[4][处理建议]　由椭圆的方程确定a，b，c的值，从而使问题

16、得以解决.交待清楚作图的几种方法.[规范板书]　解　根据椭圆的方程+=1，得a=5，b=3，c==4，所以椭圆的长轴长2a=10，短轴长2b=6，离心率e==，焦点为F1(-4，0)和F2(4，0)，顶点为A1(-5，0)，A2(5，0)，B1(0，-3)，B2(0，3).将方程变形为y=±，根据y=算出椭圆第一象限内的几个点的坐标，如下表所示.x012345y32.942.752.41.80　　先