有限元课件3-单元劲度矩阵

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1、形函数及其性质位移模式(6-10）补充：解答的收敛性1形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具有以下性质：性质1形函数Ni在节点i上的值等于1，在其它节点上的值等于0。对于本单元，有4）形函数的性质2（i、j、m）性质2在单元中任一点，所有形函数之和等于1。对于本单元，有xyN（i，j，m）Ni=1ijm3xyN（I，j，m）Ni=1ijmNj=1ijmNm=1ijmNi=1ijmNj=1Nm=1也可利用行列式代数余子式与某行或列元素乘积的性质（等于行列式值或0）证明。4性质3在三角形单元的边界ij上任一点（x，y），有xx

2、ixjxyNi(xi，yi)j(xj，yj)m(xm，ym)Ni(x、y)1证5性质4形函数在单元上的面积分和在边界上的线积分公式为(6-14）式中为边的长度。在三角形的形心，＝1/3（面积坐标概念）在三角形的ij和im边的中点，＝1/26计算单元位移函数举例例题：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵和位移函数7计算单元位移函数举例由三角形的面积8计算单元位移函数举例(6-11）举例验证形函数性质；加权平均；内插93、位移模式与解答的收敛性10（1）位移函数的个数等于单元中任意一点的位移分量个数。本单元中有u和v，与此相应，有2

3、个位移函数；（3）位移函数中待定常数个数待定常数个数应等于单元节点自由度总数，以便用单元节点位移确定位移函数中的待定常数。本单元有6个节点自由度，两个位移函数中共包含6个待定常数。（2）位移函数是坐标的函数本单元的坐标系为：x、y；11（4）位移函数中必须包含单元的刚体位移。（5）位移函数中必须包含单元的常应变。（6）位移函数在单元内要连续。相邻单元间要尽量协调。条件（4）、（5）构成单元的完备性准则。条件（6）是单元的位移协调性条件。理论和实践都已证明，完备性准则是有限元解收敛于真实解的必要条件。单元的位移协调条件构成有限

4、元解收敛于真实解的充分条件。容易证明，三角形三节点常应变单元满足以上必要与充分条件。12◆位移函数的形式一般选为完全多项式。为实现（4）—（6）的要求，根据Pascal三角形由低阶到高阶按顺序、对称地选取；多项式的项数一般应等于单元节点自由度数。13例：平面应力矩形板被划分为若干三角形单元。位移函数中包含了单元的常应变。(a2,a6,a3+a5)位移函数中包含了单元的刚体位移。(a1,a4)③④254136①②对任一单元，如③单元，取位移函数：14①、②、③、④单元的位移函数都是可以看出：位移函数在单元内是连续的；以③、④的

5、边界2－6为例256③263④③④5623xyuu6u2uu6u2两条直线上有两个点重合，此两条直线必全重合。位移函数在单元之间的边界上也连续吗？是。15第三次课第6章用有限单元法解平面问题6－4、5单元劲度矩阵与相关问题（单元分析）16回顾：单元分析取结点位移作基本未知量。由结点位移求结点力：其中，转换矩阵称为单元刚度矩阵。单元分析的主要目的就是要求出单元刚度矩阵。单元分析的步骤可表示如下：176－4、5单元劲度矩阵与相关问题1、由单元结点位移表出单元应变—几何方程2、由单元结点位移表出单元应力—物理方程3、由单元结点位移

6、表出单元结点力—虚功方程4、单元劲度（刚度）矩阵及其性质18根据几何方程和位移函数可以求得单元应变。1、由单元结点位移表出单元应变—几何方程191、由单元结点位移表出单元应变—几何方程根据几何方程和位移函数可以求得单元应变。20(6-16a）1、由单元结点位移表出单元应变—几何方程根据几何方程和位移函数可以求得单元应变。21上式简写一般式：(6-16b）式中，[B]——单元应变矩阵。对本问题，维数为3×6。它的分块形式为：子矩阵(6-17）根据几何方程和位移函数可以求得单元应变22由于与x、y无关，都是常量，因此[B]矩阵也

7、是常量。单元中任一点的应变分量是[B]矩阵与单元结点位移的乘积，因而也都是常量。因此，这种单元被称为常应变单元（精度较低!）。根据几何方程和位移函数可以求得单元应变由位移模式可知：当单元尺度足够小时，三角形常应变单元位移的误差量级是单元尺度或的二阶小量，应变的误差量级则是相应的一阶小量。23平面应力问题的弹性矩阵2、由单元结点位移表出单元应力—物理方程只要将上式中的E换成，换成即得平面应力问题的弹性矩阵。24将应变表达式：(6-18a）也可写为：(6-18b）2、由单元结点位移表出单元应力—物理方程代入物理方程式：得单元应

8、力：25平面应力问题的物理方程物理方程简化为：转化成应力分量用应变分量表示的形式：26其中：[S]称为单元应力矩阵，并有(6-19a）这里，[D]是3×3矩阵，[B]是3×6矩阵，因此[S]也是3×6矩阵。它可写为分块形式2、由单元结点位移表出单元应力—物理方程由于[B]和[D]矩阵都是常